QUADRATÜRE DES SURFACES COURBES. 17 



20. B\j est au plus egal ä l'aire d'une ellipse, dont la distance 

 foeale est d%j, et dont la grand axe est 



Si O^j etait plus grand que l'aire de l'ellipse, AD aurait des 

 points P ä l'exterieur de cette ellipse (dont la distance foeale 

 coincide avec AD et qui est situee dans le plan y = y^), on 

 aurait donc 



ÄP-hFI)>slj, 



ce qui est impossible-, on a, en effet, d'apres la definition de la 



longueur 



ÄP + TD<sIj. 



On trouve que 



Et par des considerations analogues, relatives ä un rectangle 

 et ä un cercle on trouve 



Soit AB la, longueur finie d'une courbe ä double courbure 

 et soient A et B ses extremites. 



Joignons les points de l'arc AB par des distances rectilignes 

 ä des points quelconques de AB. 



Projetons la figure ortbogonalement sur un plan quelconque. 

 La mesure exterieure* de cette figure ou son aire (lorsqu'elle existe) 

 est au plus egale ä 



^^AlfiA^-ArBf 



Car la figure est ä l'interieur d'un eUipsoide de revolution 

 autour de Taxe AB, ayant pour meridienne l'ellipse, dont les foyers 

 sont A et B, et dont la grand axe est egal a AB, et la pro- 

 tection orthogonale de l'ellipsoide de revolution sur un plan quel- 

 conque a une aire , au plus egale ä celle de sa meridienne. 



* Dans le sens dejä cite de M. Jordan. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVI. 2 



