14 ZOARD DE GEÖCZE. 



5. Posons 



Jyi^, ^) = J{^), «^C«; y) = Jiy), Syip, &) = s^^), ^xif^, y) = s{y). 



On a S{x) > m^(x), S{y) ^ Z^(^); 



S{x) = \\m.m^{x), 8(y) = \\ml^{y). ■ 



r = <x> r = rx> 



Pour notre surface on aura 



J{x) <G}), S{x) < (1 + G^yh, 



G etant le nombre defini ä la fin du Chap. I. 



6. Jix) et Six) sont ä la fois finies ou infinies. II en est 

 de meme pour J{y) et S(^y). 



7. Soit y"'>y', on aura 



Sy{x, y") - S^(x, y) > y" - y' , J^{x, y") - J^{x, y) > 0. 



Les Premiers membres de ces inegalites sont des fonctions 

 semicontinues de x. 



Remarque 1. On se persuade aisement que S{x) est une 



fonetion semicontinue*. Les lignes courbes z = — -sin -^ 



° n h 



{n = 1,2, . . .) ont la meme longueur dans (0, h), et elles peu- 



vent evidemment former les sections rr = — d'une surface. La 



n 



section x = est evidemment Taxe des y et sa longueur est h, 



tandis que la longueur des lignes decrites est > & • 5^. 



J'ai demontre, dans un de mes travaux publies en langue 

 hongroise que, '^{x) etant une fonetion semicontinue bornee, et 

 teile que il){x) ^ h, il esiste une surface z = f{x, y) pour laquelle 

 S(x) = ipix). Nous devons donc considerer 8{x) comme 

 une fonetion semicontinue generale, 



Remarque 2. . S(x) et J{x) sont des fonctions ponctuelle- 

 ment discontinues; elles ont donc dans chaque Intervalle des 

 points de continuite communs. La, oü S{oc) est continue, J{x) 

 Test aussi, mais la reciproque n'est pas vraie. 



Lorsque Sy{x, y) est continue pour x = x, y = y , eile est 

 aussi continue pour x = x , y^y'. De meme pour Jy{x,y). La 

 fonetion Jy{x, y) montre plus de generalite que S (x, y). 



Lebesgue, These, p. 114. 



