QÜADEATUKE DES SURFACES COURBES. 13 



a 



a neanmoins une valeur finie. Soit K un nombre positif donne 

 ä Favance. L'ensemble des x pour lesquels ipipc) > K, est forme 

 de points, Interieurs ä une infinite denombrable d'intervalles (uj^, Vj^ 

 i^h = "^a)? n'ayant aucun point interieur commun. 



/ j^ (x) dx 



ayant une valeur finie, en prenant K assez grand, les quantites 



00 OO 00 »^ 



1 1 1 _Uk 



sont aussi petites que l'on veut. 



3. Soit Jy{x, y) l'oscillation de la section a; = const. de 

 la surface s = f{x, y) dans l'intervalle (0, y), c'est ä dire la 

 quantite. 



'Yy\f{x,y,^,y-f{x,y;)\, 

 et soit 



Ux,y) =^'X^\f{x,^„y) - f{x„y)\. 



Soit de plus S (x, y) la longueur de la section x = const. 

 dans (0, y), c'est ä dire 



Sy{x, y) = 'Yy[{yj^, - y^y + {fix, y,^,) - f(x, y^))'^, 

 et de meme 



S^(x, y) = °Z-[(^,^, - x^)^ + {m^„y) - fix,, y))']^. 



On & y^Sy{x,y)~Jy{x,y)>0.* 



4. Posons 



\\i^i^^ - ^.0' + (A^.+i, ^) - M, y)fr=^ IM- 



On a >Wr+i(^) ^ *^r(^)- II ^^^ evident que les fonctions m^{x) 

 et ?^(^) sont des fonctions bornees et continues. 



* ScHEEFFEK. Allgemeine Untersuchungen über die Rectifikation der 

 Kurven. Acta Mathematica. T. V. 1884. Jordan, Cours d'anal. 2. ed. 1. 

 Paris 1893, p. 100. 



