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de ce voisinage on ait 



Et inyersement une fonction uniforme, montrant la propriete 

 precedente est semicontinue. 



La fonction semicontinue generale, meme dans le cas, oü ses 

 valeurs sont toutes comprises entre des limites finies, n'est inte- 

 grable dans aucun intervalle partiel de (0, a). 



Une teile fonction a une expression analytique. Si la fonction 

 est bornee inferieurement, on a 



a o 



1 

 (Pq et 9?^ etant des fonctions continues, et g)^ ^ 0. Inversement, 

 la somme d'une teile serie est toujours une fonction semicontinue, 

 bornee inferieurement. 



Dans chaque intervaUe (0, a) il j a. des points x pour les- 

 quels tl^{x) est continue. 



La somme de plusieurs fonctions semicontinues est aussi une 

 fonction semicontinue. 



L'ensemble des fonctions semicontinues a la meme puissance 

 que le continu. 



2. Soit = tj)(x) une fonction quelconque, definie pour les 

 points de (0, a). Son integrale par defaut est la quantite 



Xg^i^i, ^.■+i)-(^/+i-^i)- 



Le Symbole de l'integrale par defaut est 

 I g)(x)dx**. 



Nous remarquons qu'il-y-a des fonctions semicontinues 

 i>(x\ bornees inferieurement, teUes que, dans chaque interTaUe 

 partiel de (0, a), il ait des points x pour lesquels iIj{x') = + oo, et 



* On doit prendre 



** Darboux. Memoire sur les fonctions discontinues. Annales de FEcole 

 Normale 1875, 



