QUADEATURE DES SURFACES COURBES. 11 



tites positives, et soit g"^ (x — e , x -\- rf) la limite inferieure des 

 valeurs de 0, dont Targument x se trouve ä la fois dans (x — s, 

 X -{- 7]) et dans (0, d). 



Si la fonction ^ est teile que pour chaque x de (0, a) 

 on ait 



ip(x) = \img^(x — £, ic + rj), 



nous dirons que ijj est une fonction semicontinue (inferieurement).* 



La fonction semicontinue est uniforme par definition pour 

 chaque valeur de x. 



Si il^{x') = -{- oOj il existe pour chaque nombre K donne ä 

 l'avance, deux valeurs positives s, rj, telles que ■ip(x)^K pour 

 chaque point x de (x' — s, x' -\- rj). 



Dans chaque Intervalle partiel de (0, a), par exemple dans 

 l'intervalle (u, v), il existe au moins un point x', tel que ij(x') 

 = g'^(u, v); c'est ä dire que ijj{x) a un minimum dans chaque 

 Intervalle. 



L'ensemble des valeurs des minima de ^(aj) est denombrable. 

 L'ensemble des points x' pour lesquels il existe un Intervalle 

 (x' — s, x' -\- rf), (g > 0, Tj > 0), de maniere que, pour les x 4= x' 

 de l'intervalle, on ait if{x) > 'ip{x'), est denombrable. C'est ä dire 

 que l'ensemble des minima essentiels est denombrable. 



On peut trouver un ensemble denombrable de points partout 

 dense dans (0, a), et tel qu'en designant par g''^(x — s, x -\- 7]) la 

 limite inferieure des valeurs de ifj^x), pour les points de l'ensemble 

 qui se trouvent dans (x — £, x -\- rf), on ait pour chaque point x 

 de (0, a) 



iIj(x) = lim g'y^(x — s, x -{- i]). 



Etant donne une constante d, l'ensemble des x pour 

 lesquels ■iIj{x) ^ d est relativement parfait (ferme). 



Soit d un nombre positif, donne ä l'avance. On peut trouver 

 pour chaque x' un voisinage (x' — £, x' -\- iq), tel que, pour les x 



* Les proprietes de la fonction semicontinue decrites dans ce No. sont 

 dues (sauf peut-etre Celles sur les minima) ä M. Baike. Voir: Sur les 

 fonctions de variables reelles. These, 1899. P. 6 et suiv. 



