8 ZOARD DE GEOCZE. 



nombre A > un nombre entier positif h, tel que si r^lc, les 

 longueurs des intervalles de Xj soient plus petites que L 



4. Etant donnee une division Xj, nous ferons correspondre 

 ä chaque intervall (x^, a^i+i) de Xj une valeur [{]. La somme de 

 ces valeurs, en nombre l, sera designee par Xj[«]. 



5. Etant donnee une suite de divisions Xj , nous designerons 

 lim Xj [{] par Xj^ [i], et, si X^^ [t] est independant de la suite des 



r = 00 



divisions, nous designerons cette quantite par X\t]. 



6. Soit ^u <Cv ^a et soit "Xl^ [i] la somme des [i], dont 

 les intervalles correspondants (Xi,^i+i) sont contenus dans {u,v), 

 et"Xr [i] la somme des [i] dont les intervalles correspondants 

 ont au moins un point commun avec (u, v). 



Lorsque 



lim"Zi;H=lim"Zt'M 



r = 00 r = 00 



nous designerons cette valeur par"Xr^[i], et lorsque "X"^ [«] sera 

 independante de la suite de divisions, nous la designerons simple- 

 ment par ^X^ \i\ 



7. Nous dirons qu'une division de {0, d) a le quotient (egal 

 ou superieur ä) u, lorsque le quotient des longueurs de deux inter- 

 valles quelconques de la division est plus grand que u. Ces 



quotients sont donc tous plus petits que — , et m est necessaire- 

 ment ^ 1. 



8. Nous dirons que la suite de divisions X, (r = 1, 2, . . .) a 

 un quotient fini, lorsqu'il existe un nombre m >■ 0, tel que chaque 

 division de la suite ait un quotient u. 



9. Etant donne un ensemble X de points, en nombre fini, 

 situes sur (0, a), on peut former une suite de divisions de pre- 

 miere espece Xj , ayant le quotient -|-, de maniere que X, con- 

 tienne X — c'est ä dire que les points de X se trouveut parmi 

 le s points de X^ . 



Partageons l'intervalle (0, d) en parties egales, de maniere 

 qu'entre deux points quelconques voisins de X, il y ait au moins 

 cinq parties egales. Les points de X^ seront les points de X et les 

 extremites des intervalles egaux, sauf Celles qui sont voisines des 



