6 ZOÄRD DE GEÖCZE. 



IV etant. compris dans III, V dans IV^ VI dans V, on obtient enfin 

 T,= T,<T,<T,<T,<T,. 



De teUe sorte, quoique peu probable, il n'est pas impossible 

 que pour certaines surfaces on ait T^= -\- oo^ tandis que T^ ait 

 une valeur finie. 



La quantite T^ fut definie comme l'aire d'une surface courbe 

 par M. Lebesgue en 1902* L'auteur, ne connaissant pas les 

 travaux de M. Lebesgue, choisissait T^ en 1906. 



En adoptant l'une quelconque des valeurs T^, . . ., Tq comme 

 definition de l'aire on peut poser trois questions. 



I. Quelles sont les surfaces ä aire finie? 



IL Comment obtient-on la valeur de l'aire, ä Faide 

 des fonctions f^^\ f(^\ fm 



III. Comment doit-on construire la suite z/^, pour que 

 lira^^t soit egale ä l'aire? (quadrature). 



£ =00 



Note. En adoptant T^ pour definition, il est tres probable 

 qu'etant donne un ensemble denombrable de points situes sur B, 

 la suite z/^, pour laqueUe limz/^^ = T^, peut etre teUe qu'il existe 

 pour cbaque point de cet ensemble un nombre entier h (fini mais 

 accidentellement assez grand) de maniere que ce point soit un 

 sommet de chacun des z/^, si 5 ^ h. 



Considerons la surface 



que nous designerons couramment par s = f{x, y). 



Nous indiquerons sans demonstration les conditions necessaires 

 et suffisantesj pour que l'aire (T^, ..., TJ de /"soit finie, et nous 

 acheverons la quadrature de deux classes de la surface s = f(x, y). 



La premiere d'entre eUes jouit de la propriete suivante: les 

 longueurs des sections x = const. y = const. sont toutes inferieures 

 ä une limite finie que nous designerons par S, et il existe un 



* These. Integrale, Longueur, Aire. p. 71 et 72. 



