QUADEATURE DES SURFACES COURBES. 5 



^ = FW(^, y), n = Fp{x, y), i = F^^\x, y), 

 coincide avec J^. 



Soit /l/^), la limite superieure de 



II est evident que quelque soit la choix des fonctions F}-^\ on 



a en general 



lim 2/'^ 4=0. 



« = 00 



Considerons tous les suites w^, d^ qui peuvent exister (lini«^;, 

 = liin d^= (s = oo)), et considerons tous les suites ^^ qu'on 

 peut construire. 



Soit I l'ensemble dont les elements sont les suites z/^. Cet 

 ensemble contient plusieurs autres ensembles qui sontmoins etendus. 



Le plus remarquable est celui, oü l'on peut choisir les jP/'^^ 

 de Sorte que pour chaque element on ait 



lim 2^=0. 



Nous designerons cet ensemble par II. 



Soit in l'ensemble, dont les elements sont cbaracterises par 



^.= 0. 



IV designe l'ensemble qui est la partie commune de 11 et 

 III. Soit Y l'ensemble contenu dans IV et tel que les zlj-^^ 

 de cbacun de ces elements n'ont pas des faces qui se coupent. 

 Enfin soit VI l'ensemble contenu dans IV et tel que z//^^ n'est 

 coupe qu'en un seul point par une droite normale au plan xy. 



Designons par ^^t l'aire de z/^. 



On sait que pour chacun de ces ensembles, il existe au moins 

 un element, tel que pour cet element XmizlJ; soit determinee, et 



i=00 



entre ces limites determinees il existe un minimum. 



Designons par T-^, T^, T^, T^, T^, Tq ces plus petites des 

 limites. 



On prouve facilement que 



T = T 



Ainsi III etant compris dans I 



