QUADEATUEE DES SUEFACES COUEBES. 3 



Chapitre I. 

 Definition de l'aire d'une surface courlbe. 



Toutes les figures dont nous allons parier sont situees dans 

 l'espace d'EuCLiDE ä trois dimensions. Nous prendrons pour unitö 

 d'aire des polygones plans eelle du carre dont le cote est egal 

 ä l'unite de longueur, cette derniere etant choisie d'ailleurs arbi- 

 trairement. 



Soient x, y, s, les eoordounees rectangulaires courantes, et 

 soient 



f%x,y), (Ä = l,2,3), 



des fonctions bomees, uniformes et continues definies dans le 

 rectangle (0, a; 0, &) — P — du plan xy* 



Considerons un nouveau Systeme d'axes de coordonnees rec- 

 tangulaires ^,ri,t,. 



Envisageons la figure formee par les points dont les coor- 

 donnees ^, rj, t, sont egaux ä 



p\x,y), f'\x,y), p\x,y). 



On peut regarder cette figure sous deux points de vue diffe- 

 rents. Premierement, on la regarde comme un ensemble des 

 points, les fonctions /'^*)(Ä = 1, 2, 3) ne servant qu'ä construire 

 la figure; deuxiemement, on la regarde aussi comme un ensemble 

 des points^ mais on tient toujours compte des fonctions f^^\ 



Nous conservons ce deuxieme point de vue et nous l'inter- 

 pretons de la maniere suivante: 



„En donnant un point ^, t], t,, de la figure, nous donnons 

 aussi un procede, tel qu'il designe au moins une couple des 

 valeurs x, y, pour laquelle on ait 



l=f'\x,y), ri=^p\x,y), t-f\x,yy 



demontre que, lorsque p = tt— , q == -= — sont bornees et continues, sa defi- 

 dx dy 



nition conduit ä la valeur de 



\l-\-p''-\-q^^ dxdy. 



* En ecrivant (a^^, x,^:, ^/j , ^/g), nous supposons que x^<ix^^ Vx^Vi- 

 {x^^ x^\ y^; y^) designe le rectangle forme par les lignes ä; = ^^ , x = x^, 

 y = 'yi: 2/ = 2/21 dans le plan xy. 



1* 



//' 



