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aires* des projections orthogonales de ces portions sur un plan 

 invariable. On definit la limite superieure de tous les U possibles 

 comme l'aire de la surface courbe. 



3. On decrit des spheres ayant pour centre les points de la 

 surface et comme rayon une longueur r. Soit V le volume de 

 la figure formee par les points Interieurs au moins ä l'une de 

 ces spberes. L'aire de la surface courbe sera definie comme la 



limite de la quantite ^ quand r tend vers zero, si toutefois cette 

 limite existe. 



4. Divisons la surface consideree, d'une maniere arbitraire, en 

 un nombre fini de portions et ajoutons ä chacun de ces elements 

 un polygone plan qui sera en generale un parallelogramme. 

 Soit S la somme des aires de ces polygones; faisons tendre vers 

 zero les dimensions lineaires des portions de la surface. On 

 definit son aire comme la limite de S. 



II arrive quelquefois, et c'est en particulier le cas pour les sur- 

 faces de revolution, qu'au lieu de polygones plans, on emploie des 

 portions de surfaces courbes dont l'aire peut etre defini comme 

 nous l'avons fait en premier lieu. 



Quelquefois meme, au lieu de polygones plans, on ajoute 

 une aire plane limitee par une seule courbe fermee. 



Chacune de ces definitions a ses avantages. Mais, ou on ne 

 peut employer ces definitions que pour les surfaces regulieres, ou, 

 comme la troisieme definition, elles ne furent employes jusqu'ici 

 qu'ä de telles surfaces. 



Le but de ce travail, est de douner de l'aire une definition 

 que l'on puisse appliquer ä toutes les surfaces, d'achever la 

 quadrature de deux classes de la surface ^ = f(x, y) d'apres la 

 definition donnee, et de preparer la quadrature de la surface 

 generale z = f{x, ?/).** 



* Ou plus exactement la somme des mesures interieurs dans le sens 

 de M. Jordan. Cours d'analyse (2), Paris 1893, 1, p. 28. 



** Dans sa these de doctorat Über einige stetige Kurven, über Bogen- 

 länge, linearen Inhalt nnd Fläclieninlialt (Königsberg, 1907), M. Janzen donne 

 une nouvelle definition pour l'aire; il me parait que cette definition soit 

 equivalente avec celle de Finvariant du Chap. XII, d'ailleurs M. Janzen ne 



