QUADRATÜRE DES SURFACES COURBES. 65 



B) Dans ce qui suit nous supposerons que la longueur du 

 contour de f soit finie. 



On peut donc former une division X^Z^^, nous designerons 

 ses points par x^, y-, de fa9on que 



^«) < + oo, J{y:) < + oo. 

 et que 8 etant un nombre positif donne ä l'avance, on ait: 



a b 



^//(l + V + K'fdxdy - X, r^2,, . J-,, < ö (1) 







x,r^5,x«,,.-f-Ä.,. + y,,)<(y.* (2) 



Soit Xl^ Ynr iiiie suite de divisions ä quotient fini; prenons 

 r assez grand pour que les {x-,x'._^^ {Vj^yj + i) soient respective- 

 ment partages en plusieurs autres intervalles, par les points de 

 Xl^ et par les points de Yjf^. 



Dans chaque intervalle de Xl,. qui ne contient aucun point 

 de X^, nous choisirons un point |, tel que J{^) soit egal au mini- 

 mum de J{x) dans l'intervalle considere. 



Les I et les points de X^ forment une division X^ . 



Nous determinerons de meme une division Y^ . On observe 

 q^^e X,Y^^ contient X,Y^^. 



C) Soit, pour un rectangle {x^, x.^^; y^, y^^^ de X^^Y^^^ 

 X. . = 0, lorsque ce rectangle est compris dans un rectangle de 

 ^i^m poiJr lequel on avait A^. ,,. = o- 



Au-dessus des rectangles de X^Y^^, oü ^i^j = 1, la surface a 

 la meme propriete que celle du Nr. 6. 



Or, en prenant r assez grand, nous aurons 



Wy,./,j ■ J,> - ^^Y„r,^,{AJic+A^)C)\ < *. (3) 



Considerons maintenant les rectangles de Xj Y^ oü e-^ = 1, 

 (l.^. = 0). Le rectangle (x/, x,^^- y/, yj^^) est partage par les 

 lignes de \Y^^. 



Soient 



^ ' _ fc(o ^ t(i) <r • • • <- ä'-'^ <r ■ < i^^ = X 



y;-v':'<vf<---<vf<---<v'!> = y,,„ 



* Dans ce qui suit les a. ., ß. ., y. . appartiendront ä {x^, x.^^; y'j, yj^^i)- 



Mathematische und Naturwissenschaf tHchc Berichte aus Ungarn. XXVI. 5 



