68 ZOÄKD DE GEÖCZK. 



et la somme de tous les d- ^ est aussi petite que Ton veut. Ainsi 



— -ici d est aussi petit que Ton veut. 

 Donc pour s = oo, r = oo, 6=^0, 



a b 



lim AJ. > J'j'i^ + ^ +■ W ^^ <^y- 

 6 



Nous omettons les demonstrations faciles ä trouver des theo- 



remes I et III. 



Chapitre XI. 

 La defliiition de M. Peano. 



1. Soit donnee une surface courbe et soit T^ son aire. De- 

 composons-la en portions (1), (2), . . ., en nombre fini. 



Nous supposons 1. Que le sens du mot portion de la sur- 

 face soit defini*. 2. Que cbacune des portions (1), (2), . . ., possede 

 une aire (la definition etant T^), T^), T^^, . . ., et que 



j = T(i) + T(2) -f . . . **. 

 3. Que en projetant ortbogonalemeut les points d'une portion (1), 

 (2), . . ., sur un plan quelconque, cette projeetion possede une 



Soit d >0, d'ailleurs arbitraire. Soit de plus z/j, zi^, . . ., une 

 suite de polyedres inscrits dans la portion (k), teile comme 

 nous l'avons definies au Chap. 1, en definissant l'ensemble IV. Soit 

 ^i't, ^2^ ■ ■ ■■> l^. somme des aires des triangles qu'on obtient, 

 lorsqu'on projette ortbogonalement les triangles de z/^, z/g • • •, 

 sur le plan considere. 



Nous supposons 4. qu'on puisse demontrer, qu'en prenant s 

 assez grand, 



zJ't > u.— d. 



* Dans le cas de la surface s = f{x,y), dont Taire est finie la defi- 

 nition des portions sera donne tout de suite. 



** M. Lebesgue demontre, la definition de Taire etant T^ , qu'une 

 teile döcomposition est possible; These p. 77. 



*** Je crois pouvoir affirmer avec beaucoup de certitude qu'en general 

 la projeetion d'une surface rectifiable sur un plan quelconque n'a pas d'aire. 



