QUADRATUEE DES SURFACES COURBES. 69 



On demontre ainsi que T'^^^^u,^. 



Je remarque que dans le cas de la surface 3 = f{x, y) j'ai 

 trouve des determinations tres generales pour les portions satis- 

 faisant aux conditions decrites. Les contours (ou mieux fron- 

 tieres) de ces portions ne sont pas des lignes courbes, mais des 

 ligures plus generales*. 



Nous definissons comme portion de la surface z = fix, y), la 

 surface qui est definie par l'equation 3^f(x,y)^ le point x,y 

 variant dans une domaine renfermee par une ligne courbe ä lon- 

 gueur finie, simplenient fermee. Bien entendu, dans ce cas il 

 n'importe qu'on considere les points de la ligne courbe comme 

 appartenant ou non au domaine. 



2. Decomposons la surface en portions en nombre fini. Separons 

 les portions, et transportons cbacune d'elles, sans deformation, en 

 une Position finale arbitraire. Projetons ortbogonalement les 

 points de cbacune de ces portions sur un plan fixe et soient 

 u^, u^, . . ., les aires de ces projections. 



Soit u^ -\- u^ -\- • • ■ = U. 



La limite superieure de tous les U possibles est, 

 pour nos surfaces, egale ä Tq, c'est ä dire ä t. 



* En designant par Q la projection orthogonale de la frontiere sur le 

 plan xy, les conditions sont rempHes lorsqne Ton a {t etant fini) 



Soit s une ligne courbe ä longuenr finie, situee dans le rectangle 

 (0, a; 0, &), on a (t etant fini) 



^ = ^. = y,s. = o- 



Lorsque s est simplement ferme, la quantite t' analoque ä t pour l'aire 

 limitee par la courbe, et la quantite t" pour le reste du rectangle (0, a; 0, Z>) 

 ont t pour somme, {t etant fini). 



La ligne correspondante da la surface, est quarrable sur la surface, 

 d'apres la definition de M. Lebesgue, These, p. 79. 



Citons encore un theoreme analogue. Designons par 0' la projection 

 orthogonale de la section 2 == const. sur le plan xy. L'ensemble des z pour 

 lesquels o:^, ^ , est (s'il existe) fini ou au plus denombrable , la surface 

 z = f{x, y) etant d'ailleurs quelconque. 



Pour la surface ä aire finie, l'ensemble des z pour lesquels 



est (s'il existe) fini ou denombrable. 



