70 zoIrd de geöcze. 



On a par hypothese 



Ainsi TJ <, T^, donc la limite superieure TJ^ des ü est ^ T^. 

 Considerons notre premiere surface. Soit X^ Y^ une division 

 de la suite du No. 1 du Chap. IX. 



Lorsque X.j = 1 (Ckap. VIII), transportons /;. ^ (Chap. III) dans 

 une Position teile que AS^ Gl) (Chap. IX) soit parallele au plan 

 fixe. Designons par u^^^ l'aire de la projection de f- • sur le 

 plan fixe. 



En eonsiderant que AB' CD est une figure plane et que la 

 surface simplement connexe, formee par les cinq surfaces f^-, 

 6'}'., ff". ., 6'.^.,., d'{^. . contient le contour de AB' CD, on obtient 



(AB CD) < u, ,+ ö'/. + r . + ö'." , +0'^.. 



Transportons le f^j oü X- ■ = 0, dans une position teile qu'il 

 occupe, par rapport au plan fixe, la meme position que celle qu'il 

 occupait (en faisant partie de la surface) par rapport au plan ys. 

 On voit que 



Donc 



Mais, d'apres le Chap. IX et VIII, pour r = oo le premier 

 membre est egal ä Tq et le second terme du deuxieme membre 

 est egal ä 0: de plus X, IT u- ,. est une valeur de Ü. 



On aura donc 



On demontre de la meme maniere que pour notre deuxieme 

 surface jj^^ j'^^ f ^ j^^^ 



Chapitre XII. 

 Sur l'invariant. 



1. Je suppose qu'une figure dite ligne courbe et situee sur 

 une surface ait la propriete suivante: II existe des portions qui 

 la contiennent, et on peut varier chacune de ces portions de 



