QUADRATUEE DES SURFACES COURBES. 71 



maniere que sa limite soit la ligne courbe et cette ligne seule- 

 ment, de plus, que la limite de l'aire de la portion (la definition 

 de l'aire etant I\) soit egale ä zero*. 



Pour la surface z = f(x, y), dont l'aire est finie, ces conditions 

 sont remplies, lorsque la projection orthogonale sur le plan xy 

 de la ligne courbe est une ligne courbe ouverte, sans point double, 

 ä longueur finie. 



2. Soit x, y, z un Systeme de coordonnees rectangulaires. 

 Partageons la surface par des lignes courbes, et projetons ortho- 

 gonalement les points de chaque portion sur les plans x y, x z , 

 y z . Ces projections, par hypotbese (No. 1, 4. Chap. XI), auront 

 des aires. Soient a^ ß, y les aires des trois projections d'une 

 portion, et soit M la somme des toutes les valeurs 



Nous partageons la surface, par des lignes toujours plus 

 serrees, de maniere que chaque portion diminue indefiniment, 

 c'est ä dire que chaque distance qui existe entre deux points 

 quelconques de chacune des portions, decroisse sans limite**. 



Le nombre des portions, quoique restant toujours fini, croit 

 evidemment sans limite. 



Pour cette Variation, lim R est determine et independant de 

 la maniere suivant laquelle la surface ä ete partagee. 



Car, si nous diminuons les portions de maniere que chacune 

 d'entre elles soit divisee en plusieurs parties, au lieu d'un seul 



X 



membre [a^ -\- /3^+ y^Y ^ous en aurons plusieurs 



V^ + ß^ + Y.'f, W + ß.'+n'Y,--; 



dans la somme JR. 



Et on aura evidemment 



a ^ 0^1 + 0^2 + • • •, ß<ßi + ßi-\ , r ^ ri + ^2 H ; 



* C'est la definition de M. Lebesgüe pour la ligne quarrable sur la 

 surface — la definition de l'aire etant T„. 



Une ligne quarrable sur la surface pour T^ est aussi quarrable pour T«, 

 la xeciproque doit etre demontree. 



** Lapossibilite d'une teile decomposition (la definition de l'aire etant T^) 

 a ete demontre par M. Lebesgue. These, p. 77. 78. 



