QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 75 



Soit 5 = 90(2/) une ligne courbe definie dans (0, h). 



Soit P un ensemble ferme ä etendue lineaire 0, situe sur 

 Taxe y. Renfermons le dans des intervalles en nombre fini, et soit 

 d la somme de leurs longueurs. Soit s la somme des longueurs 

 des arcs de q){y) qui correspondent ä ces intervalles. On sait que 



lim s 



d = 



est determine et independant du choix et du mode de decroissauce 

 des intervalles. 



Lorsqu'il existe au moins un P, tel que Ton ait 

 lim s > *, 



d = 



je dis que la ligne courbe est une ligne courbe ordinaire. 



Lorsque, S(x) etant bornee ou nou, Faire de la surface est 

 finie,** et 1' ensemble des x, pour lesquels les sections x = const. 

 sont des lignes courbes ordinaires est un ensemble de prämiere 

 categorie, on a toujours 



^, = 0- 



Une teile surface est, par exemple, celle pour laquelle la 

 limite superieure des 1 1 \ est egale ä + oo, et dont chaque section 

 ä; = const. satisfait ä la condition de Lipschitz.*** 



Mais, dans le cas general, on a 



^,>0, y,>0. 



Designons par p les rectangles qu'on doit soumettre d'apres 

 la premiere division ä des subdivisions. 



Par le choix convenable de la premiere division, a est aussi 

 petite que l'on veut, mais ce ne sera pas ainsi pour ß , y^. 



En considerant qu'on peut regarder dans un certain sens cc^, 

 ßp7 7p7 comme la contribution des plans xy, xz, ys, pour l'aire 

 par les portions de f situees au-dessus des rectangles p, et qu'ü 

 etait possible de rendre par une division du plan xy, a aussi 



* On a en general lim s = -}- oo. 



d = Q 

 a 



** On au moins / S(x)dx<C-\- OO. 







*** On a pour les classes decrites de = /"(a;, y), Tg = t. 



