QUADRATUßE DES SURFACES COURBES. 77 



renfermee par s, et soit t^. la quantite t pour U. Soit V 

 l'aire qui complete U ä (0, a; 0, h), et designons par ty la 

 quantite t pour F. On a (voir Chap. XI) 



Theoreme 11. Soit f la portion de z=f{x,y) qui 

 corresponde ä U. Projetons les points de f sur les plans 

 des coordonnees. Ces projections possedent des aires. 

 Designons-les par a, ß, y. Ou a 



De plus, les suppositions 3., 4. du Chap. XI sont exactes. 



Prenons une division X^r„,, teile que >S'(^^) < + cx).** 



Considerons la figure ß^ j. 



ISTous supposons f{x, y) > 0. Soit (0, a; 0, c) un rectangle 

 du plan X0, renfermant les projections orthogonales de 2 = f(x,y) 

 sur le plan xz. 



Soit uLlZn une division rectangulaire de (0, a; 0, c). 



Lorsque l'aire de ß^ ^ est positive, en choisissant XlZ.x d'une 

 maniere convenable, quelques-uns de ses rectangles seront situes 

 ä l'interieur de ß. ,. 



Soit {Xj., ^k+i'-» ^hj ^h + \) ^'^ ^®1 rectangle. Supposons que 

 dans {x„ ar^+J on ait f{x, y^^^) > fix, y^). 



Dans tous ce qui va suivre nous conservons cette supposition; 

 on verra facilement les modifications causees par le cas contraire. 



Nous designons par ]i^ et h^ (h^ > Ji^) les nombres entiers 

 pour lesquels (rr^,, a?^, + i; ^^ , ^a^) est contenu dans ß^^, mais (x^., 

 ^, + i; \^i, ^n) et {x„ x,^,; ^,^, 0,^^^) ont au moins un point 

 qui n'est pas situe ä l'interieur de ß^j. 



Designons par m, M, le minimum respectivement le maxi- 

 mum des valeurs de z = f{x,y) dans {Xj^, x^_^^'^ y^, yj + i)- Soit 

 d>0. 



Nous definissons dans (x,., X/._^_i'^ Vj — d, yjj^]_-\-d) une surface 

 z ^ l{x, y) de la maniere suivante. 



* Dans tous ce qui suit nous supposons que t soit fini. 

 ** Nous supposons ^^(a, 0) ■< -(- oo, 8^{a, b) <^ -\- oo. 



