QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 79 



posee d'une seule ligne courbe Ü(Z) ä longueur finie.* 

 Cette ligne courbe ii'a pas des points doubles, et en 

 partant d'un point du plan x = Xj. eile va jusqu' ä x = Xf.j^i. 



ün plan normale ä l'axe des x peut couper la courbe 

 en une infinite de points. 



Ayant Z^ < Z^, la courbe Ü{Z^) a des points plus 

 pres du plan X0, que la courbe JJiZ^). 



Designons aussi par U{Z) la longueur de U{Z). U(Z) 

 est une fonction semicontinue sur Tensemble Z et 



31+ d 



fu{Z)-d0<-\-oc.** 



L'ensemble Z etant partout dense dans {m -^ d, M -\- d), on 

 peut cboisir deux zj^, ^'h + n ih "^ K + i) ^® ^®^ points, tels que 

 K,K + i) soit conipris dans {b^, z^^^) et que <-^^, ^h + i — K + i> 

 soient aussi petites que Ton veut.*** 



Designons aussi par U(Z) la projection de U{Zy sur le 

 plan x^. 



Considerons le domaine du plan xy qui est renfermee par 

 les lignes droites 



et par les lignes courbes ü(ß',[), U{z'j^j^^. 



Nous designerons ce domaine par {x^.,x^_^-^] U{z'j[), ü{,s\j^-^) 

 et nous emploierons dans de cas semblables la notation analogue. 



Ce domaine est contenu dans {x^, ^k + i'i Vjj ^^+1)7 ^® P-^^^ 

 les courbes TJ{Z) de la portion de z = l^ (x, y) qui est situee 

 au-dessus du domaine, sont situees sur = f(x, y). La pro- 

 jection sur le plan X0 de la portion consideree de z = X.^(x, y) 

 est evidemment (x^, Xj^^^; z',^, z'^,^^). 



Prenons une division rectangulaire I de (a?^,. ^^+1; ^1', ^l + i) 



* M. Lebesgue demontre (These p. 77) que pour cerfcaines valeurs de 

 ic, la section x = const. d'une surface quelconque, mais ä aire T, finie, coa- 

 tient une ligne courbe ä longueur finie. 



** Les demonstration furent communiquees ä l'Academie hongroise, 

 voir Mathem. es Term. tud. firtesitö, t. XXVI (1908) p. 475 et suiv. J'ai 

 u'ajoute les theoremes Y — VIII qu'au mois de Mai 1909. 



*** z'f^ et z'/^ ne dependent que de h. 



