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de maniere que les points diviseurs de {z"^^ ^l + i) soient des points 

 de Tensemble Z. 



Soit (a?^, ^i+i) ^\y ^A + i) ■'■'^^ ^®^ rectangles de /. 



Dans tout ce qui suit nous parcourons les lignes courbes 

 JJ{Z^ en partant de leur point situe sur x ^= Xy. vers leur point 

 situe sur x = x^^^. 



On prouve facilement, qu'il existe au moins un arc £^i(^() 

 de TJiz^j) et un arc TJ^{z{^^ de ?7(^(^i) tel que ces arcs sont 

 compris dans la bände des lignes droites paralleles 



en les rejoignant. 



De plus üj^{sl) a des points plus pres de Taxe des x comme 

 f^i(4 + i)' et dans le domaine ixl,x[_^^- L\{xj), U^{x[^^)) ni ü(xQ 

 ni U{x^^^) n'ont pas des arcs rejoignant les deux droites, enfin 

 en parcourant U{3j^, C/^(^|+i) on arrive d'abord ä l'extremite de 

 Ui{2j^) respectivement de U^i^l+i) qui est situe sur x = xl. 



De plus Z etant un point de l'ensemble Z, et tel que 

 4<^ <^i+i, il existe dans {xl, x^^^- U^i^j), U^izi^S) un arc 

 L\{Z) de U(Z) etant en meme relation ä C^i(^f) comme C/i(^{+i). 



Designons par q{x) l'ordonnee du point de V-^{Z) qui est le 

 plus pres de Taxe des x sur la ligne droite x = const. La 

 fonction q{x) est donc definie dans (xl, xl_^^ de plus eile est 

 bornee et uniforme. 



q{x— Qi) et q{x -\- 0) existent et l'une de ces valeurs est 

 egale ä q{x). Les points x, q{x — 0), et x, q{x -\- 0) sont situes 

 sur U-^{Z). Considerons la figure formee par les points x, q(x) 

 et par les distances rectilignes rejoignant les points x, q(x — 0) 

 et X, q{x -\- 0). Cette figure est une ligne courbe. Cbaque ligne 

 droite x = const. la coupe ou dans un seul point, ou dans un 

 Intervalle. 



En parcourant la courbe dans le sens des x croissants on 

 rencontre ceux de ses points qui ne sont pas ä l'interieur de ses 

 intervalles paralleles ä Taxe y, dans la meme ordre qu'en par- 

 courant U^(Z). 



Designons par S(Z) cette ligne courbe et soit aussi S{Z) 

 sa longueur. On a S(Z) ^ Wk^)- 



