QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 81 



Nous designerons dans ce qui va suivre aussi par S{Z) la 

 figure qui est situe dans le plan z = Z ei dont la projection sur 

 le plan xij est S(Z). 



Theoreme V. On peut construire au-dessus de 



une surface z = cp{x,y) ayant les proprietes suivantes: 



1. Pour y2>yi on aura cp{x, y^) — cp{x, y^) ^0. ^ 



2. II existe un ensemble de seconde categorie Z dans 

 {z[, ^(_^i), partie de Z, teile que la section z = Z de z= (p{x,y) 

 est h{Z) 



3. La longueur de S{Z) est semicontinue sur l'en- 

 semble Z ei j 



J S{Z) dz<-{- oo. 



4. L'aire de z = (p{x,y) est finie. 



La projection de ^ = (p{x, y) sur le plan xz est evidemment 



Soit II une division rectangulaire de {xf^, ^/+i5 ■^/j ^I+i); ^^ 

 teile que les points diviseurs de {zj^, oc^^^ soient des points de 

 Z. Soit {xjf, ^l^^i^'i ^i^, ^7^+]) ^'^^ ^^^ rectangles de 11. 



Parcourons la ligne courbe S{zl^^) (situee dans le plan z = sfj) 

 dans le sens des x croissants. 



Soit A son dernier point dans le plan x = x^^ D son premier 

 point dans le plan x = xj,^ . 



Les points analogues dans les memes plans pour SizjJ ^) soient 

 JB et G. Ä, B, C, D, sont evidemment situes sur = f(x, y). 



Theoreme VIl. On peut faire pour z = fp{x, y) des 

 recherches analogues ä Celles des Chapitres VlII et IX 

 relatives au plan xz. 



Remarque. On doit etendre les discussions du No. 8 du 

 Chap. VII ä des fonctions semicontinues definies sur un ensemble 

 de seconde categorie. 



Nous designerons par E^H^ l'arc de U-^{z{^) qui dans la bände 

 des lignes paralleles x = x^^^ , x = x^^^ ^ rejoint ces deux droites, 

 et qui entre de telles arcs de TJ^ißl^) a des points les plus pres 

 de Taxe des x. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVI. 6 



