84 ZOÄRD DE GEÖCZE. 



Les equations 



definissent une surface nommee, par M. Lebesgue. surface recti- 

 fiable. Designons - la par B. 



On demontre facilement que T^ est finie*. 



2. Designons respectivement par Sy{x) et par s^{y) la lon- 

 gueur des lignes courbes x = const. y = const. de H. 



II resulte de la condition de Lipschitz, que les fonctions 

 semicontinues Sy{x), s^{y) sont bornees. 



Nous supposons que 



Si^'K^), S^^Hy), (h^ 1,2,3), Syix), sM 

 sont des fonctions continues, en remarquant que ces restrictions 

 ne sont point essentielles; les resultats que nous allons obtenir, 

 seraient les memes si on laisserait ä ces buit fonctions toute 

 leur generalite. 



Mais les preliminaires n'etant qu'enonces dans le texte (No. 8f. 

 Cbap. VII\ nous nous bornons ä ce cas. 



3. Designons par Aq, Bq, Cq, Dq les points de R qui corre- 

 spondent aux points x., y^, x-, y^^^, x^_^^, y^-^,, x^^^, y^ du plan xy. 



Designons par Ti^ ^ la portion de i? qui correspond ä 



Designons par Ä^Bq l'arc qui correspond au cote x = x^ de 



{^i, ^i+i: yji yj-i-ij- 



Parcourons l'arc ^o^o ^® ^o ^^^^ ^o ®^ parcourons la distanee 

 ÄqBq de Äq vers Bq de maniere que les deux points partant en 

 meme temps de Äq, arrivent en meme temps en Bq. 



Joignons par une distanee rectiligne, les positions occupees 

 respectivement en meme instant par les deux points en mouvement. 

 Soit ö'^'. la surface reglee ainsi engendree. Soient de plus d^^\, 6^^\, 

 df] les surfaces qu'on obtient de la meme maniere ä l'aide des 

 arcs BqCq, C^Dq, B^A^. 



Designons par 6'. . la quantite 



^l^Ä;B^\A^B,-Ä~B,f, 



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* "Voir: Lebesgue, Thfese, p. 85 — 87. 



