AEITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBEAISCHER KURVEN. 169 



algebraischen Kurven mit rationalen Koeffizienten (1) und (2), 

 indem er von der Kenntnis eines rationalen Punktes oder einer 

 damit äquivalenten Annahme ausging. 



Dem Verfahren von Fermat, das er auf die Aufsuchung der 

 rationalen Punkte der Kurven (1) anwendet, gab Euler mathe- 

 matische Form in seiner von der St. Petersburger Akademie erst 

 47 Jahre jiach EüLERs Tode, nämlich 1830 herausgegebenen 

 1., 6. und 7. Abhandlung.* 



Dieses von Fermat und Euler behandelte Problem brachte 

 Jacobi** in Verbindung mit der Integralrechnung, indem er 

 darauf aufmerksam machte, daß der von ihm Euler zugeschriebene 

 Algorithmus, welchen Euler auf die Aufsuchung neuer Punkte 

 aus einem rationalen Punkte der Kurve (1) anwendet, überein- 

 stimmt mit dem algebraischen Algorithmus der Multiplikation 

 der zu (1) gehörigen elliptischen Integrale erster Gattung. Jacobi 

 geht sogar einen Schritt weiter und spricht die Verallgemeinerung 

 des in Rede stehenden Problems in Betreff der hyperelliptischen 

 Kurven mit rationalen Koeffizienten von der Form 



if = B{x) = a^x^i'-^^--\-a^x^^ + '^-\ h «a^p + s 



aus, in betreff beliebiger algebraischer Kurven mit rationalen 

 Koeffizienten deutet er sie an. 



In bezug auf hyperelliptische Kurven spricht Jacobi sein 

 Theorem so aus: 



Es sei R{x) eine ganze Funktion' vom {2p + l)ten oder 

 {2p + 2)ten Grade mit rationalen Koeffizienten und | ein ratio- 

 naler Wert, für den auch '|/jR(^) rational ist; dann gibt es un- 

 zählig viele Gleichungen pi&n. Grades mit rationalen Koeffizienten 

 von der Beschaffenheit, daß wenn Xj^{k = 1, 2, . . ., j;) eine be- 

 liebige Wurzel einer solchen Gleichung ist, yii(Xj^) rational aus- 

 drückbar ist in Xj^ und rationalen Zahlen.*** 



* Memoires de FAcademie imperiale de St. Petersbourg, Bd. XL Vgl. 



auch El'leks Anleitung zur Algebra, Bd. II (St. Petersburg 1771) S. 238 — 274. 



** De usu theoriae integralium ellipticorum et integralium Abelia- 



nOTum in analysi Diophantea, Grelles Journal Bd. 13 (1834\ S. 353 — 355, 



Jacobis Werke Bd. II, S. 53—55. 



*** Schon Euler hat bemerkt, daß es im Falle p = 2 im allgemeinen un- 

 möglich ist, aus einem rationalen Punkte neue rationale Punkte abzuleiten, 



