170 JULIUS VON SZ. NAGY. 



Im Laufe des 19. Jahrhunderts haben sich mehrere Mathe- 

 matiker mit den Kurven dritten und vierten Grades vom Ge- 

 schlechte 1 mit rationalen Koeffizienten vom arithmetischen Stand- 

 punkte aus beschäftigt.* 



Im Jahre 1901 erschien eine umfangreiche Abhandlung von 

 Herrn Poincare über arithmetische Eigenschaften der alge- 

 braischen Kurven**, in der er sich, ohne Berufung auf seine Vor- 

 gänger, mit den uuikursalen und bikursalen Kurven mit ratio- 

 nalen Koeffizienten und unter den letzteren besonders mit den 

 Kurven dritter Ordnung eingehend beschäftigt, hingegen bei den 

 Kurven vom höheren Geschlecht sich sozusagen nur auf die Zu- 

 sammenfassung der Ergebnisse beschränkt. Hinsichtlich des 

 Theorems von Jacobi geht er bei den Kurven vom Geschlecht^ 

 nicht von einem rationalen Punkte, sondern von solchen p Punkten 

 aus, welche zwar nicht rational sind, aber eine rationale Punkt- 

 gruppe bilden, d. h. bei welchen die elementaren symmetrischen. 

 Funktionen ihrer Koordinaten rational sind, und biklet daraus 

 andere _p elementige rationale Punktgruppen. 



daß es aber stets möglicli ist, eine Gleichung zweiten Grades mit ratio- 

 nalen Koeffizienten abzuleiten, die der in dem erwähnten Theorem von 

 Jacobi auftretenden Gleichung jj-ten Grades entspricht (Anleitung zur Algebra 

 1771, Bd. II, S. 263). 



* Siehe P. Bachmänn, Encjklopädie der math. Wissenschaften, Art. I, 

 Kap. 1, S. 571 — 578, vgl. auch dessen französische Übersetzung, Encyclopedie 

 des Sc. Mathem. Tome I, vol. 3, p. 27 ff. Außer den dort erwähnten Ver- 

 fassern erwähnen wir die einschlägigen xArbeiten von Aronhold und Herrn 

 S. GuNDELFiNGEE, fcmer die von Herrn G. Kohn in dem Art. III, Kap. 5 der 

 Encykl. d. m. Wiss. Bd. III, 2, S. 502 angeführten Autoren, die, wenn auch 

 nicht vom Gesichtspunkte der arithmetischen Theorie aus, auf die allgemeine 

 Kurve dritter Ordnung eine Konstruktion (Konstruktion der STEiNEKSchen 

 Polygone) angewandt haben, mit Hilfe deren wir auf einer Kurve dritter 

 Ordnung mit rationalen Koeffizienten aus einem rationalen Punkte neue 

 rationale Punkte bestimmen können. Wenn nämlich der Punkt A einer 

 solchen Kurve ein rationaler Punkt ist, so ist der Tangentialpunkt A^ des 

 Punktes ^wieder ein rationaler Punkt, der Tangentialpunkt von J.^ wieder 

 ein rationaler Punkt usw. Oder, wenn J., B und C rationale Punkte sind, 

 so schneidet die Grade A C einen rationalen Punkt G■^ , die Grade B C^ einen 

 rationalen Punkt C.2 usw. aus der Kurve aus. 



** Sur les proprietes arithmetiques des courbes algebriques, Journal de 

 mathematiques (Liouville) (5) t. 7 (1901), p. IGl— 233. 



