ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 171 



In der Abhandlung von Herrn PoiNCARE spielt die biratio- 

 nale Transformation (mit rationalen Koeffizienten) der Kurven 

 eine wichtige Rolle, die die arithmetischen Eigenschaften der 

 Kurven nicht ändert, indem durch sie jedem rationalen Punkte 

 ein rationaler Punkt, jeder g elementigen rationalen Punktgruppe 

 eine ^ elementige rationale Punktgruppe entspricht. Als eine hin- 

 sichtlich dieser Transformation invariante Zahl definiert nun 

 PoiNCARE den Rang der Kurve dritter Ordnung mit rationalen 

 Koeffizienten, d. h. die Anzahl solcher rationaler Punkte, welche 

 auseinander nicht ableitbar sind, aber aus denen jeder rationale 

 Punkt auf der Kurve ableitbar ist. 



Neuerdings wies Herr L. Schlesinger auf diese Unter- 

 suchungen hin, in seinem in der Euler- Sitzung der Deutschen 

 Mathematiker -Vereinigung (1907) gehaltenen Vortrage*, in dem 

 er nachweist, daß der von Jacobi Euler zugeschriebene Algo- 

 rithmus schon bei Fermat vorkommt; er beweist ferner, worauf 

 sich Jacobi bloß berief, daß der FERMAT-EuLERsche Algorithmus, 

 durch den wir aus einem rationalen Punkte der Kurven (1) zur 

 Kenntnis anderer rationaler Punkte gelangen, mit dem algebra- 

 ischen Algorithmus der Multiplikation der zu (1) gehörigen ellip- 

 tischen Integrale erster Gattung übereinstimmt; des weiteren macht 

 er aufmerksam auf das ohne Beweisführung gebliebene Tbeorem 

 von Jacobi und zeigt endlich den Zusammenhang unter den Ab- 

 handlungen von Fermat, Euler, Jacobi und Poincare. 



Ungefähr zur selben Zeit erschien eine Publikation von Herrn 

 Beppo Levi, welche nachher noch in drei Publikationen fort- 

 gesetzt wurde, uämlich über die Kurven dritter Ordnung mit 

 rationalen Koeffizienten**. In der ersten Publikation beschäftigt 

 er sich mit den durch birationale Transformation mit rationalen 

 Koeffizienten ineinander überführbaren Kurven dritter Ordnung, 

 deren Invarianten, und mit der Verteilung der auf ihnen befind- 

 lichen rationalen Punkte, während er in den drei übrigen Publi- 



* Über ein Problem der DioPHANTischen Analysis bei Fermat, Euler, 

 Jacobi und Poincare, Jahresbericht Bd. 17, S. 57 — 67. 



** Saggio per una teoria aritmetica delle forme cubiche ternarie, 

 Nota 1 — IV, Accademia reale delle scienze di Torino, 1906 — 1908. 



