ARITHMETISCHE EIGENS CHAPTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 173 



n. über Kurven von höherem Greschlecht. 



1. 



Auf den Kurven vom Geschlechte 1 mit rationalen Koeffi- 

 zienten kann man aus einem bekannten rationalen Punkte (h,, rj) 

 (Punkt mit rationalen Koordinaten), wie Herr Poincare nach- 

 gewiesen hat, im allgemeinen unendlich viele rationale Punkte 

 aufsuchen. Auf den Kurven von höherem Greschlecht hingegen 

 kann man aus einem bekannten rationalen Punkte (|, tj) im all- 

 gemeinen keine rationalen Punkte ableiten, aber man kann aus 

 einer rationalen Punktgruppe, d. h. aus einer solchen Punktgruppe, 

 deren Punkte zwar nicht rational sind, aber bei denen sämtliche 

 elementare symmetrische Funktionen ihrer Koordinaten rational 

 sind, unendlich viele andere rationale Punktgruppen ableiten. 



Das Theorem über die algebraischen Kurven vom Geschlecht 1 

 mit rationalen Koeffizienten verallgemeinerte Herr Poincare in 

 seiner Abhandlung wie folgt: 



Es sei 

 (3) f{x,y)^0 



eine algebraische Gleichung* mit rationalen Zahlkoeffizienten; 

 bedeutet n die Ordnung, p das Geschlecht der durch (3) de- 

 finierten algebraischen Kurve und kennt man p Punkte auf dieser 

 Kurve mit den Koordinaten (xj,, y^) (ä; == 1, 2, . . . , p), für die die 

 elementaren symmetrischen Funktionen der Xj., «/^ rationale Zahlen 

 sind, so lassen sich noch unendlich viele Systeme von p Punkten 

 der Kurve von derselben Beschaffenheit angeben. 



Aus der gegebenen ^:) elementigen rationalen Punktgruppe 

 können wir neue jp elementige rationale Punktgruppen mit Hilfe 

 adjungierter Kurven mit rationalen Koeffizienten aus der Kurve (3) 

 ausschneiden. 



Nach den bekannten Sätzen** der Theorie der algebraischen 



* Der Einfachheit halber werden wir den Fall betrachten, daß die 

 Kurve (3) nur gewöhnliche Singularitäten, also gewöhnliche Doppelpunkte 

 und Spitzen hat, aber es sind unsere Entwicklungen auch dann anwendbar, 

 wenn die Singularitäten der Kurve (3) nicht so einfach sind. 



** Siehe Bekzolaei, Theorie der höheren ebenen algebraischen Kurven, 

 Encykl. d. math. Wiss. III, Kap. 4, S. 414; Stahl, Abelsche Funktionen, 

 S. 71—75. 



