174 JULIUS VON SZ. NAGY. 



Kurven können wir unter den7iq — 2d Schnittpunkten, in welchen 

 eine adjungierte Kurve q'>{n — 3)ter Ordnung (außer den d Doppel- 

 punkten) die Kurve (3) schneidet, im allgemeinen nur nq — 2d — p 

 Punkte beliebig annehmen, die übrigen p Schnittpunkte sind durch 

 diese bestimmt, so daß wir die auf der Kurve ^3) befindliche 

 Punktschar ^^*~ 2^ ~^ durch ein k = nq — 2d — p nichthomogene 

 lineare Parameter enthaltendes adjungiertes Kurvenbüschel qter 

 Ordnung 



(4) cp {x, y) = cpf, (x, y) + l^(p^{x,y)^ V l^cp^ipc, y) = 



aus der Kurve (3) ausschneiden können, wo ^0(^7 y)} 9i(^; y)j • ■ •■> 

 (p^.{x, y) voneinander linear unabhängige adjungierte Kurven qter 

 Ordnung sind, deren Koeffizienten sich aus den Koeffizienten der 

 Kurve (3) rational zusammensetzen; im vorliegenden Falle also, 

 wo die Kurve (3) rationale Koeffizienten hat, sind auch die Ko- 

 effizienten der Kurven cpq{x, y), cpi{x, y), . . . , cpj.(x, y) rational. 



Wenn wir also die Kurve (4) durch eine k = nq — 2d — p- 

 elementige rationale Punktgruppe der Kurve (3) hin durchführen, 

 so erhalten die Zahlen A^, ylg, . . ., A^ rationale Werte, und weil die 

 Kurven (3) und (4) mit rationalen Koeffizienten einander außer 

 in der rationalen Punktgruppe der Doppelpunkte und der ä; elemen- 

 tigen rationalen Punktgruppe notwendigerweise wieder in einer 

 rationalen Punktgruppe schneiden, bilden die übrigen p Schnitt- 

 punkte eine rationale Punktgruppe. 



Es kann auch der FaU. eintreten, daß durch die Jv=nq — 2d—p- 

 elementige rationale PunktgTuppe nicht nur eine, sondern unend- 

 lich viele adjungierte Kurven von der Form (4) und der Ord- 

 nung q hindurchgehen, d. h. daß unter den Parametern ^1,^27- • -j^h 

 1, 2, . . . beliebig bleiben; in diesem Falle können wir die durch 

 die /i; elementige Punktgruppe von der Form (4) hindurchgehende 

 Kurve durch 1, 2, . . . beliebige rationale Punkte der Ebene hin- 

 durchführen, damit die j9 elementige rationale Punktgruppe be- 

 stimmt sei. 



Eine solche h'= nq — 2 (^ —jp elementige rationale Punktgruppe, 

 wie wir sie bei der Konstruktion der J9 elementigen rationalen 

 Punktgruppen brauchen, können wir immer bilden, wenn wir eine 

 jP elementige rationale Punktgruppe der Kurve (3) kennen. Aus 



