AßlTHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 175 



dieser j9 elementigen Punktgruppe und einer nq^ — 2^ elementigen 

 rationalen Punktgruppe G, worin eine beliebige adjungierte Kurve 

 mit rationalen Koeffizienten g > (w — 3)ter Ordnung die Kurve (3) 

 schneidet, stellen wir eine ng[ — 2d — ^elementige rationale Punkt- 

 gruppe dadurch zusammen, daß wir jene (f— l)mal, diese (>l-|-l)- 

 mal nehmen, wo e — 1 und X-\-\ nichtnegative ganze Zahlen 

 sind, welche die Gleichung 



(5) wg- 2d—p = {E-l)p^{l + 1) (ng - 2d) 

 befriedigen, der wir auch die Form 



(6) n(q'— q) — X[nq — 2d) = £jö 

 geben können. 



Es sei 



Q = [n,2d], Q'=[n,2d,2-)], 



wo das Klammerzeichen den größten gemeinsamen Teiler der in 

 ihm befindlichen Zahlen bedeutet, dann können wir die Gleichung (6) 

 durch positive ganzzahlige Werte q'—q und X^ — 1 nur dann 

 befriedigen, wenn — einen ganzzahligen Wert hat. Dieser Fall 

 aber wird für einen solchen kleinsten Wert s eintreten, der durch 



p \n,2d] 



p' [n,2d,p] 



bestimmt ist. Für diesen Wert s hat die Gleichung (6) unendlich 

 viele positive ganzzahlige Lösungen q' — q und X^ — 1. Wegen der 

 Gleichung (5) schneidet also die adjungierte Kurve, welche durch 

 die ^elementige rationale Punktgruppe (f — l)mal, durch die 

 rationale Punktgruppe G (/l + l)mal hindurchgeht, außer diesen 

 Punktgruppen noch eine ^ elementige rationale Punktgruppe aus 

 der Kurve (3) aus. 



Wir erhalten eine neue j9 elementige rationale Punktgruppe, 

 wenn wip entweder von anderen Lösungen q' — q, X der Glei- 

 chung (6) ausgehen, oder wenn wir für die schon erhaltenen 

 ^ elementigen rationalen Punktgruppen die vorige Konstruktion 

 wiederholen. 



Auch eine andere Methode gibt Herr Poincare zur Kon- 

 struktion |) elementiger rationaler Punktgruppen, welche indessen 

 nur dann anwendbar ist, wenn schon zwei oder mehrere jjelemen- 



