ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN, 177 



^ elementige rationale Punktgruppe (Ji -{- l)m.al, oder durch h-{-l. 

 |) elementige rationale Punktgruppen hindurchführen, die Kurve (3) 

 noch in einer j; elementigen rationalen Punktgruppe. 



Damit aber die erwähnte Gleichung erfüllt sei, dafür ist die 

 Bedingung die, daß Jip + 2 durch n teilbar sei. Dies ist der 

 Fall, wenn die Gleichung 



kn — hp = 2 

 ganzzahlige Lösungen k und h hat, was nicht immer zutrifft. 



2. 



Die auf der Kurve (3) befindlichen p elementigen Punkt- 

 gruppen können wir nach dem Inversionsproblem von Jacobi 

 durch die Summen der zu (3) gehörigen AßELschen Integrale 

 erster Gattung charakterisieren. 



Es seien nämlich u^^u^, . . ., u die p zu (3) gehörigen von- 

 einander linear unabhängigen Normalintegrale erster Gattung, so 

 ist, wenn (a^, h^) (i=l, 2, . . . , p) p Fispunkte der Kurve (3) sind, 

 und die Summen der Integrale 



C^) % =-jdu^ +JdUf. -{-■■■ -\-J du^ 



{1 = 1, 2,... ,p) 



gegeben sind, die Punktgruppe {x-, y^ (i = 1,2, ...,p) der Kurve (3) 

 ganz bestimmt*, vorausgesetzt, daß der Weg der Integration 

 zwischen den Punkten (a^,\) und {x^, y^) (^ = 1, 2, . . . ,^) in 

 jeder Integralsumme auf der zu (3) gehörigen RiEMANNschen 

 Fläche derselbe ist. 



Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß die Integrale (7) 

 eine und dieselbe untere Grenze haben, d. h. daß a^ = a, &j = & 

 (*' = 1, 2, . . .,^) sind. 



Wir nennen die Integralsummen (7), durch welche die ^ ele- 

 mentige rationale Punktgruppe (x-, y^) (i = 1, 2, . . ., p) bestimmt 



* Eine Ausnahme bildet der Fall, wenn die j3 elementige Punktgruppe 

 (ajj-, y^) (i^ 1, 2, . . .,^) auf einer adjungierten Kurve (n — 3)ter Ordnung 

 ist, weil dann die Summen {ccj^,a^, . . ., ap) nicht eine, sondern unendlich 

 viele p elementige Punktgruppen bestimmen. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVI. 12 



