AEITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 179 



Nachdem diese Sätze vorausgeschickt sind, können wir durch 

 die Argumente einer j) elementigen rationalen Punktgruppe 



die daraus ableitbaren ^ elementigen Punktgruppen bzw. deren 

 Argumente darstellen. 



Die im vorhergehenden Paragraphen angewandte adjungierte 

 Kurve q'iex Ordnung, die durch die Punktgruppe a (s — l)mal, 

 durch die nq — 2 <? elementige rationale Punktgruppe 



G = qK — d = (gxi - d^, qn^-d^, . . ., qx^ — S^) 

 (/l + l)mal hindurchgeht, schneidet aus der Kurve (3) wegen der 

 Gleichung (5) die folgende j9 elementige rationale Punktgruppe aus: 

 q'x _ [(5 -l)a + (A + 1) {qx -d)-{-d] 

 = o; — sa — [{X -\-l)q — q']x — Xd, 

 d. h. diejenige Punktgruppe, deren Argument 



«i - ««i - [(>^ + 1) 2 — ö:'] ^- - ^^i 



{i = l,2,...,p) 

 sind. 



X und q' — q befriedigen die Gleichung (6); hieraus folgt: 



iX + l)q-q = ^ = {1, 



d. h. 



2Xd — ^71 = ep. 



Wenn Xq und ^^ die kleinsten, imserer Aufgabe entsprechenden 

 ganzzahligen Lösungen sind, so lauten aUe unserer Aufgabe ent- 

 sprechenden Lösungen 



1 1 f ** 7 1 2d 7 



A = Ao + -A;, ^ = ^o+y^; 



wo Q = [n,2d], und k eine beliebige nichtnegative ganze Zahl 

 ist. Auf Grund dessen erhalten wir aus der ^ elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppe a durch die entsprechende Veränderung der 

 Ordnungszahl q' der adjungierten Kurve die folgenden ^ elemen- 

 tigen rationalen Punktgruppen 



a — sa — iIqZ — XqÖ — Je I — % -\ dj . 



Setzen wir der Kürze wegen 



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