ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 181 



Herrn Poincare auf die durch die folgenden Gleichungen be- 

 zeichnete Art anwenden: 



2 (« — a) — a = a — 2ä, 



2(ß; — 2a) — [a — ä) = a — 3ä = (o; — 2a) -[- [a — a) — a, 



2(a — 3ä) — (a — 2a) = a — 4ä = 2(^a — 2ä) — a, 



2(cc — ha) — (a — (k —■ l)ä) = a — (Je -\-l)ä usw. 



2 a — (a — a) ^= a -{- ä, 



2(a + «) — a = a -{- 2ä, 



2(a + 2ä) — [a -\- ä) = a -\- 2 ä ^ (a -\- 2 a) -\- (a -\- ä) — a, 



2(a + kcc) — (a — (k — l)ä) = a -{- (Je -\- 1) ü usw. 



Diese zwei Gleichungserien bestimmen einen gewissen Algo- 

 rithmus für die Konstruktion der |> elementigen rationalen Punkt- 

 gruppen. Durch diesen Algorithmus erhalten wir aus den |) ele- 

 mentigen rationalen Punktgruppen a und a — ä die j9 elementigen 

 rationalen Punktgruppen 



a -\- mä 



(m = 0, ±l,+2, ...). 



Mit Rücksicht auf (8) sind also die aus der Punktgruppe a ab- 

 leitbaren zweifach unendlich vielen p elementigen rationalen Punkt- 

 gruppen * 



(9) a + mä + Jc6 



(m, Je = 0,±1, ±2,...). 



Daß wir aber im allgemeinen durch die beiden Konstruktionen 

 von Poincare keine von diesen verschiedene ^ elementige rationale 

 Punktgruppe ableiten können, zeigen wir auf folgende Weise. 



* Um ein Mißverständnis zu vermeiden, bemerken wir, daß cc-\-mä-\-JcG 

 keine Summe der Argumente, wie bei Herrn Poincare, sondern nur ein 

 Symbol ist, welches die rationale Punktgruppe mit den Argumenten 



2d 



bedeutet. 



(n 2d \ 



— '«* + — ^k) 



(k^l,2,...,p) 



