182 JULIUS VON SZ. NAGY. 



Wir können keine neue p elementige rationale Punktgruppe 

 mit Hilfe der ersten Konstruktion erhalten, weil die aus der ratio- 

 nalen Punktgruppe a -\- mä -{- hö durch das erste Verfahren er- 

 haltene ^ elementige rationale Punktgruppe 



(a -\- mcc -{- Tiö) — s(a + w*ä -f hö) — ft^jc — X^d — \6 



= tt — {sa + (IqJC + ''-0^) ~ (^^ — *^)^ — (^^ — 1i -{- \)6 

 = a — {am — m -{-l)<x — {sh — h -{- \)6 



eine der unter (9) befindlichen ist. 



Aber auch durch das zweite Verfahren von Poincare können 

 wir keine neue p elementige rationale Punktgruppe erhalten, weil 

 die ^ elementige rationale Punktgruppe 



(a -\- m^ä -\- Ti^ (?) + (« + m^ ä ■{- li^ 6) — (a -\- m^ ü -\-h^6) 



= a-\- (m^+m^ — m^)ü -(- (l^ + \— \)ß 



zu den Punktgruppen (9) gehört. 



Die aus der j9 elementigen rationalen Punktgruppe a durch 

 die beiden Konstruktionen von Herrn Poincare erhaltenen sämt- 

 lichen J9 elementigen rationalen Punktgruppen werden also durch 

 (9) dargestellt. In dem Falle, der nicht der allgemeine ist, daß 

 nämlich die am Ende des vorigen Paragraphen erwähnten An- 

 nahmen erfüllt werden, können wir noch andere j? elementige ratio- 

 nale Punktgruppen erhalten. 



Was aus (9) als wesentlicher Unterschied gegenüber dem 

 Falle p = 1 uns sofort in die Augen fäUt, ist, daß im allgemeinen 

 für Kurven vom Greschlechte p = 1 mit rationalen Koeffizienten 

 nur einfach unendlich viele rationale Punkte aus einem ratio- 

 nalen Punkte ableitbar sind, wogegen sich auf den Kurven von 

 höherem Geschlechte [p ^ 2) mit rationalen Koeffizienten aus 

 einer j? elementigen rationalen Punktgruppe im allgemeinen min- 

 destens zweifach unendlich viele rationale Punktgruppen er- 

 geben. 



Wenn außer der j) elementigen rationalen Punktgruppe a noch 

 eine j) elementige rationale Punktgruppe ß bekannt ist, welche aus 

 a nicht konstruierbar ist, so sind die p elementigen rationalen 

 Punktgruppen, welche daraus durch die beiden Konstruktionen von 

 Herrn Poincare ableitbar sind. 



