ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 183 



ß-^mß + k6 



{m, Je =^0,±1, ±2,...) 



= sß -\- ^qX -\- IqÖ), und wenn die erwähnten Annakmen nicht 

 erfüllt sind, so sind diese Punktgruppen die einzigen. Außer 

 den so erhaltenen und unter (9) befindlichen |) elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppen können wir noch neue Punktgruppen durch 

 Kombination der zweierlei Punktgruppen mit Hilfe der zweiten 

 Konstruktion von Herrn Poincare bekommen. So erhalten wir 

 die ^ elementigen Punktgruppen 



(« + w^ä + ^^(j) + (a + Wga + Z;^^) — (/3 + m^ß + ^^3^) 



= 2a — ß -{- (m^ 4- m^)ä — m^ß -f- (h^ -\- \ — ^3)^ usw. , 



und im allgemeinen die Punktgruppen 



n-^^a -\- n^ß + m^ä -\- m^ß + ^<5, 



wo n^,n^, m-^^, m^, Je beliebige ganze Zahlen (einschließlich auch 

 der Null) sind, unter denen nur die Bedingung besteht: 



n^ + ^2 = 1. 



Noch allgemeiner, seien a, ß, y, . . . voneinander unabhängige 

 ^ elementige rationale Punktgruppen, d. h. unter ihnen sei keine 

 aus den übrigen konstruierbar; dann sind die j9 elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppen 



(10) ii^a -\- n^ß -\- nny -\- ■••-{- m^ä -\- m^ß -{- m^y -\- •■•-]- k ff 



aus ihnen ableitbar durch die allgemein anwendbaren Methoden. 

 In (10) sind n.^, %, n., . . ., m^, m^, m^, . . ., h beliebige ganze 

 Zahlen einschließlich der NuU, und nur für die Zahlen n besteht 

 die Bedingung 



^1 + % + Wg H = 1. 



Wenn die im vorigen Paragraphen erwähnte nicht all- 

 gemeine Methode auch anwendbar ist, so schließen sich an die in 

 (10) enthaltenen pelementigen rationalen Punktgruppen die Punkt- 

 gruppen an, welche wir durch die dort behandelte Konstruktion 

 auffinden. 



Wenn alle auf der Kurve (3) befindlichen p elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppen aus den Punktgruppen a, ß, y, . . . ableitbar 



