184 JULIUS VON SZ. NAGY. 



sind, so nennen wir die r^ Punktgruppen a, ^,y, . . . primitive 

 ^elementige rationale Punktgruppen und die Zahl r die 

 Rangzalil der auf der Kurve (3) befindlicken rationalen Punkt- 

 gruppen. 



Gegenüber einer birationalen Transformation T mit rationalen 

 Koeffizienten sind die arithmetischen Eigenschaften einer alge- 

 braischen Kurve C mit rationalen Koeffizienten invariant. 



Jeder selementigen rationalen Punktgruppe ä auf der Kurve C 

 entspricht zufolge der Transformation T eine und nur eine* gleich- 

 falls s elementige rationale Punktgruppe S' auf der transformierten 

 algebraischen Kurve C mit rationalen Koeffizienten, und um- 

 gekehrt. Ferner, wenn S irreduzibel ist, d. h. nicht in aus 

 weniger Punkten bestehende rationale Punktgruppen zerfällt, so 

 ist auch 5' irreduzibel; denn wäre ;S" reduzibel und zerfiele es 

 in s^, .§2, ..., Sj elementige rationale Punktgruppen S^, S^', ..., S^', 



wo 



«1 + «2 H (- Si = s 



ist, so müßte auch die rationale Punktgruppe S zufolge der in- 

 versen Transformation von T in 5^, Sg, . . ., 5;, elementige Punkt- 

 gruppen S^, So, ■ ■ ., S/. zerfallen, was unserer Annahme wider- 

 spräche. Umgekehrt entspricht jeder reduziblen Punktgruppe S 

 eine gleichfalls reduzible Punktgruppe S', welche in ebensolche 

 rationale Punktgruppen zerfällt, wie die Punktgruppe S. 



Aus diesem Grunde sind im allgemeinen gegenüber der biratio- 

 nalen Transformation mit rationalen Koeffizienten invariante Zahlen: 

 die Anzahl der auf der Kurve C befindlichen rationalen Punkte, 

 die Anzahl der sämtlichen irreduziblen und infolgedessen auch 

 der sämtlichen reduziblen 2, 3, . . . usw. -elementigen rationalen 

 Punktgruppen. Wenn es aber unendlich viele selementige Punkt- 

 gruppen gibt, so ist die Ordnung ihrer Unendlichkeit, also die 

 Rangzahl r der p elementigen rationalen Punktgruppen invariant. 



* Eine Ausnahme kommt nur dann vor, wenn die rationale Punkt- 

 gruppe S teilweise oder ganz in die Fundamentalpunkte der transformie- 

 renden Kurven fällt. 



