ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBEAISCHEK KURVEN. 185 



Wir bemerken noch bezüglich der Kurven von höherem Ge- 

 schlechte, daß, wenn die Ordnung n und die Zahl p—1 keinen 

 gemeinsamen Teiler haben, es immer, bei beliebigen rationalen 

 Werten ihrer Koeffizienten, auf ihnen p elementige rationale Punkt- 

 gruppen gibt. 



Bei der ersten Konstruktion von Herrn Poincare müssen 

 wir die adjungierte Kurve von der Ordnung q durch die ^ ele- 

 mentige rationale Punktgruppe a (f — l)mal, durch die i^g — 2d- 

 elementige rationale Punktgruppe G {l -\-V) mal hindurchführen. 

 Diese adjungierte Kurve wird eine neue j9 elementige rationale 

 Puüktgruppe aus (3) ausschneiden. Diese j9 elementige rationale 

 Punktgruppe ist von a unabhängig, wenn £ = 1 ist, und so können 

 wir j; elementige rationale Punktgruppen auf den Kurven, auf 

 welchen diese Annahme erfüllt ist, auch dann erhalten, wenn 

 wir vorläufig keine j) elementige rationale Punktgruppe kennen. 

 s aber ist dann und nur dann gleich der Einheit, wenn n und 

 p — 1 keinen gemeinsamen Teiler haben; es ist nämlich 



E = ^ -■ • 



[n,2d,p] ' 

 weil aber 



2d=n{n-3)-2{p-l) 

 ist, so haben wir 



[n,2d] = [n,2(p-l)] 

 und 



[n,2d,p]=^[n,2{p-l),p']. 



Hieraus können wir unsern Satz leicht herauslesen. 



Es gibt also immer rationale Punktpaare (zweielementige 

 Punktgruppen) auf den Kurven vom Geschlechte zwei mit ratio- 

 nalen Koeffizienten; rationale Punkttripel auf den Kurven un- 

 paarer Ordnung vom Geschlechte drei mit rationalen Koeffizien- 

 ten; rationale Punktquadrupel auf den Kurven vom Geschlechte 

 vier mit rationalen Koeffizienten, wenn ihre Ordnung nicht durch 

 drei teilbar ist usw. 



Im Folgenden werden wir uns mit den Kurven vom Ge- 

 schlecht zwei mit rationalen Koeffizienten beschäftigen, d. h. mit 

 den einfachsten Kurven, auf welchen immer j?(= 2 j elementige 

 rationale Punktgruppen existieren. 



