186 JULIUS VON SZ, NAGY. 



III. Über Kurven vom OescMeclite zwei. 



1. 



Es gibt im allgemeinen immer auf den Kurven vom Gre- 

 sclileclit zwei mit rationalen Koeffizienten rationale Punktpaare. 

 Alle adjungierten Kurven {n — o)ter Ordnung mit rationalen Koeffi- 

 zienten schneiden aus der Kurve wter Ordnung vom GescUeclite zwei 

 mit rationalen Koeffizienten, welche wir im Folgenden kurz CJ-^^ 

 nennen werden, rationale Punktpaare aus. Diese Punktpaare ge- 

 hören dem kanonischen Punktsystem g^~_,^ = g^^ der Kurve (7J^) 

 an. Es gibt im allojemeinen auch von dem kanonischen Punkt- 

 System verschiedene rationale Punktpaare. 



Wir schneiden die C^'^^ mit einer Geraden mit rationalen 

 Koeffizienten. Diese schneidet die G^'^'> in einer ?« elementigen 

 rationalen Punktgruppe. Wenn wir durch jeden Punkt dieser 

 Punktgruppe eine adjungierte Kurve (w — 3)ter Ordnung hindurch- 

 führen, so schneidet jede solche Kurve die CJ-"^^ noch in einem Punkte 

 außer den Doppelpunkten. Die so erhaltenen n Punkte bilden 

 wieder eine rationale Punktgruppe, weil, obgleich die einzelnen ad- 

 jungierten Kurven (w — 3)ter Ordnung im allgemeinen keine ratio- 

 nalen Koeffizienten haben, ihre Gesamtheit eine Kurve n{ii — 3)ter 

 Ordnung mit rationalen Koeffizienten bildet, welche die GJ;-'^\ 

 außer in der rationalen Punktgruppe der Doppelpunkte und außer 

 in der auf der rationalen Geraden befindlichen n elementigen 

 rationalen Punktgruppe, in der erwähnten n elementigen rationalen 

 Punktgruppe schneidet. Durch die so erhaltene w elementige ratio- 

 nale Punktgruppe kann man im allgemeinen eine nichtdegene- 

 rierende adjungierte Kurve (n — 2)ter Ordnung hindurchführen, 

 welche die C„^^) außer in der w elementigen rationalen Punktgruppe 

 in einem, nicht der g^^ gehörigen rationalen Punktpaare schneidet. 



Wenn wir aber eine rationale Punktgruppe der OJ^^ kennen, 

 welche nicht zum kanonischen Punktsystem g^'^ gehört, so können 

 wir eine solche birationale Transformation mit rationalen Koeffi- 

 zienten herstellen, welche die C|,/^) in eine (einen Doppelpunkt 

 enthaltende) Kurve C vierter Ordnung mit rationalen Koeffizienten 

 überführt. 



Wir legen eine die G^'^^ im bekannten Punktpaare berührende 



