ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 187 



adjungierte Kurve (n — 2)ter Ordnung mit rationalen Koeffizien- 

 ten, welche die C,/^) außer in dem Punktpaare in einer (n — 2)- 

 elementigen rationalen Punktgruppe schneidet. Durch diese (n — 2)- 

 elementige rationale Punktgruppe* gehen zweifach unendlich viele 

 adjungierte Kurven (n — 2) ter Ordnung hindurch, deren Gleichung 



(11) /li9)i+ /Ig^pg + '^s^'s = 



lautet, wo Aj, Ag, X^ beliebige Konstanten, cp^, (p^, % adjungierte 

 Kurven (n — 2)ter Ordnung mit rationalen Koeffizienten sind. 



Wenden wir jetzt auf die Kurve GJ^^^ nter Ordnung vom Ge- 

 schlechte zwei 



(12) Fix, y) = 



die birationale Transformation mit rationalen Koeffizienten 



an, so geht die Kurve (12) in eine einen Doppelpunkt enthaltende 

 Kurve vierter Ordnung mit rationalen Koeffizienten 

 (14) f(|, .?) = 



über, weil das Kurvennetz (11) die Kurve (12) in vier veränder- 

 lichen Punkten schneidet. 



Im allgemeinen können wir also immer eine Kurve CJ-"^^ 

 durch birationale Transformation mit rationalen Koeffizienten in 

 eine Kurve C überführen. 



Zufolge dieser Transformation entspricht jedem rationalen 

 Punkte, jedem rationalen Punktpaare der CJ-^'> ein rationaler 

 Punkt bzw. ein rationales Punktpaar der Kurve C und um- 

 gekehrt. Eine Ausnahme bilden nur die Fundamentalpunkte der 

 transformierenden Kurven. 



Zufolge dieser Beziehung zwischen den Kurven CJ^'^ und C kann 

 man die beiden Kurven als äquivalent betrachten, und eben darum 

 werden wir uns im Folgenden nur mit der Kurve C beschäftigen. 



Wir bemerken jetzt, daß man im allgemeinen jede Kurve CJ^^ 

 durch birationale Transformation mit rationalen Koeffizienten in 



* Statt dieser (w — 2) elementigen rationalen Punktgrappe können wir 

 die (n — 2) elementige rationale Punktgrappe nehmen, in welcher die durch 

 das rationale Punktpaar hindurchgehende Gerade die C^'^^ schneidet. 



