188 JULIUS VON SZ. NAGY. 



eine Kurve CJ^^^ von der Ilyperelliptischen Form 



(15) y^ = R(x) = üqX^ + «j^^ + • • • + ög 



überführen kann. Zum Beweis dieses Satzes genügt es zu be- 

 weisen , daß wir jede Kurve C in eine Kurve von der Form (15) 

 transformieren können. 



Die Gleichung einer Kurve C ist^ wenn der Doppelpunkt der 

 Anfang des Koordinatensystems ist^ von der Form 



(16) (p^X^, y) + 2(pXx, y) + ^^x, y) = 0, 



wo (f^i^, y), (Ps^^^y)} 9^4.{^} y) homogene Funktionen 2ten, 3ten, 

 bzw. 4ten Grades der Veränderlichen x, y sind. 

 Durch die birationale Transformation 



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geht die Kurve (16) in die Kurve 



(17) .j^ = ^3^1,1) -g^,(lj)- 9^4(1 J) 

 über. 



Von dieser Transformation werden wir im Folgenden keinen 

 Gebrauch machen. 



2. 



Auf einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkte 

 und rationalen Koeffizienten^ welche wir im Folgenden auch kurz 

 C nennen werden, schneiden die Strahlen des durch den Doppel- 

 punkt hindurchgehenden Strahlenbüschels, welche rationale Koeffi- 

 zienten haben, die zum kanonischen Punktsystem g^^ gehörigen 

 rationalen Punktpaare aus. Solche Punktpaare werden wir per- 

 spektivische Punktpaare nennen, weil ihre zwei Punkte per- 

 spektivische Lage in betreff des Doppelpunktes haben. 



Es gibt auf C außer den perspektivischen rationalen Punkt- 

 paaren im allgemeinen auch noch andere, sehr leicht auffindbare 

 rationale Punktpaare. Solches Punktpaar schneiden die zwei 

 Tangenten des Doppelpunktes aus C aus. Im allgemeinen FaUe 

 ist der Doppelpunkt reell und es haben seine Tangenten irratio- 

 nale Koeffizienten, oder er ist isoliert und seine Tangenten haben 

 imaginäre Koeffizienten. Es kommt nur in speziellen Fällen vor, 

 daß wir auf der Kurve C statt des Punktpaares rationale Punkte 



