ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 189 



erhalten. Ein solcher spezieller Fall liegt dann vor, wenn die 

 zwei Tangenten rationale Koeffizienten haben, in welchem Falle 

 beiden Tangenten aus C rationale Punkte ausschneiden; ferner wem 

 die Kurve C eine Spitze hat, in welchem FaUe die Spitzen- 

 tangente einen rationalen Punkt aus C ausschneidet, und endlich 

 wenn die eine Tangente des Doppelpunktes Inflexionstangente ist, in 

 welchem Falle die andere Tangente die C in einem rationalen 

 Punkte trifft. In einem sehr speziellen Falle erhalten wir weder 

 einen rationalen Punkt, noch rationale Punktpaare, wenn nämlich 

 beide Tangenten des Doppelpunktes Inflexionstangenten sind. 



Aus dem so erhaltenen rationalen Punktpaare oder Punkte 

 können wir im allgemeinen zweifach unendlich viele rationale 

 Punktpaare auf C konstruieren. 



Aus einem rationalen (nicht perspektivischen) Punktpaare, 

 oder, was für die Konstruktion nichts wesentlich vereinfacht, aus 

 einem rationalen Punkte bietet die Ableitung rationaler Punkt- 

 paare Gelegenheit zur rein linearen Konstruktion, wobei also nur 

 Schnittpunkte gewisser Geraden mit der Kurve C zu bestimmen 

 sind.* 



Dazu Anlaß gibt einerseits der Umstand, daß die durch ein 

 rationales Punktpaar hindurchgehende Gerade aus C wieder ein 

 rationales Punktpaar ausschneidet, andererseits aber der, daß die 

 beiden Strahlen, die ein rationales Punktpaar vom Doppelpunkte 

 aus projizieren, die Kurve C wieder in einem rationalen Punkt- 

 paare treffen. 



Auf Grund dessen ist die angedeutete lineare Konstruktion 

 der rationalen Punktpaare folgendermaßen durchführbar. Durch 

 das gegebene rationale Punktpaar führen wir eine Gerade hin- 

 durch, welche die Kurve C in einem rationalen Punktpaare 

 schneidet. Das so erhaltene rationale Punktpaar projizieren wir 

 aus dem Doppelpunkte auf die Kurve C, und durch das er- 

 haltene neue rationale Punktpaar führen wir wieder eine Ge- 

 rade hindurch usw. Dieses Verfahren können wir auch rück- 



* Hiermit wollen wir nicht behaupten, daß wir die rationalen Punkt- 

 paare mit dem Lineal in der Tat konstruieren können, wenn die Kurve C 

 aufgezeichnet ist; die Punkte des rationalen Punktpaares sind nämlich 

 nicht notwendigerweise reell. 



