190 JULIUS VON SZ. NAGT. 



wärts fortsetzen, wenn wir das gegebene rationale Punktpaar, statt 

 durcli dasselbe eine Gerade bindurcb zu führen, aus dem Doppel- 

 punkte auf die Kurve projizieren und durch das so erhaltene 

 Punktpaar eine Gerade hindurchführen usw. 



Die durch dies Verfahren erhaltenen Punktpaare erschöpfen 

 im allgemeinen die aus dem gegebenen rationalen Punktpaare 

 ableitbaren rationalen Punktpaare nicht. Wir erhalten neue ratio- 

 nale Punktpaare, wenn wir durch das gegebene einen adjungierten 

 Kegelschnitt mit Berührung erster Ordnung hindurchführen und 

 für das so erhaltene rationale Punktpaar die oben erwähnte 

 Konstruktion anwenden. Durch zwei rationale Punktzweier unter 

 den vorher erhaltenen führen wir wieder einen adjungierten Kegel- 

 schnitt hindurch und wenden für das dadurch ausgeschnittene 

 Punktpaar wieder die lineare Konstruktion an. Es ist unnötig, 

 bei der Konstruktion adjungierte Kurven höherer Ordnung in An- 

 spruch zu nehmen, weil wir die sämtlichen rationalen Punktpaare, 

 die aus einem ableitbar sind, durch Gerade und adjungierte Kegel- 

 schnitte konstruieren können, wie es aus dem folgenden Para- 

 graphen hervorgehen wird. 



Es geht aus den erwähnten zwei Konstruktionen hervor, daß 

 sie nicht vereinfacht werden, wenn ein rationaler Punkt statt 

 eines rationalen Punktpaares bekannt ist, weil man sowohl beim 

 Konstruieren der Geraden wie bei dem der Kegelschnitte, durch 

 die wir zu neuen rationalen Punktpaaren gelangen, einer aus einer 

 paaren Anzahl von Punkten bestehenden rationalen Punktgruppe 

 bedarf. 



Wenn auch ein solches rationales Punktpaar auf der Kurve G 

 bekannt ist, das von den aus dem vorigen Punktpaare ableitbaren 

 verschieden ist, so können wir aus diesem durch die erwähnte Kon- 

 struktion im allgemeinen unendlich viele rationale Punktpaare ab- 

 leiten, aber wir erhalten außer diesen noch neue, wenn wir ad- 

 jungierte Kegelschnitte durch solche zwei Punktpaare hin durch- 

 führen, unter denen das eine aus dem ersten, das andere aus 

 dem zweiten Punktpaare konstruierbar ist. Aus mehreren von- 

 einander unabhängigen rationalen Punktpaaren (unter denen keines 

 aus den übrigen ableitbar ist) konstruierbare Punktpaar können 

 wir auf Grund des Bisherigen leicht aufsuchen. 



