AKITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBRAISCHER KURVEN. 191 



3. 



Wir charakterisieren die auf C befindlichen rationalen Punkt- 

 paare auch hier durch ihre Argumente. Der Einfachheit halber 

 nehmen wir nicht nur an, daß die unteren Grenzen der in den Argu- 

 menten vorkommenden Integrale dieselben sind, sondern auch, daß 

 diese untere Grrenze einer der sechs Punkte ist, deren Tangenten 

 durch den Doppelpunkt hindurchgehen. 



Bei einer derartigen Wa,hl der unteren Grenze nach dem 

 AßELschen Theorem sind die Argumente der perspektivischen 

 Punktpaare 



«1 = 0, cc^ = 0. 



Wenn x^ und x^ auch jetzt die Argumente einer beliebigen 

 Geraden bezeichnen, so sind, weil die Argumente eines perspek- 

 tivischen Punktpaares NuU sind, die zum Doppelpunkte (als 

 rationalem Punktpaare) gehörigen Argumente 



"l ^^ ^1? "2 =" ^2 7 



und die Argumente des rationalen Punktpaares, das die zwei 

 Tangenten des Doppelpunktes ausschneiden, 



Wir stellen durch die Argumente («i; «2) ei^es rationalen 

 (nicht perspektivischen) Punktpaares die Argumente der daraus 

 linear konstruierbaren rationalen Punktpaare sehr einfach dar. 



Die durch das Punktpaar (ccj, a^) hindurchgehende Gerade 

 schneidet aus der Kurve C das rationale Punktpaar mit den 

 Argumenten 



^1 ^i) ^2 ^2 

 aus. Wenn wir aber das Punktpaar (a^, a^) aus dem Doppel- 

 punkte auf die Kurve projizieren, so werden die Argumente des 

 erhaltenen Punktpaares, weil die Argumente eines perspektivischen 

 Punktpaares gleich Null sind, 



^1} ^2 • 



Auf Grund dessen können wir leicht einsehen, daß die Argu- 

 mente der aus dem rationalen Punktpaare (a^, £^2) linear kon- 

 struierbaren rationalen Punktpaare entweder die Form 



