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ARITHMETISCHE EIGENSCHAFTEN ALGEBEAISCHEE KURVEN. 193 



Im allgemeinen Falle haben wir aus der p elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppe a = [a^, a2, ■ ■ ■ , cCp) die p elementigen ratio- 

 nalen Punktgruppen 



a + mä -f Ji<3 



erhalten, wo m und Je beliebige ganze Zahlen, 



ä = ea -{- ^qX -{- Zq8 , 

 n 1 Sc? . 



? Q 



sind, und Xq und ^ der Gleichung 



„ , . , ~ 2dX — nu, = sp 



(ienüge leisten. 



Im Falle der Kurve C sind 

 n = 4z, 2d = 2, £ = 1, p = 2, (> = 4, 1^ = 1, (a,q = 0, 



ferner haben wir, wegen der der unteren Grenze der Integrale auf- 

 erlegten Beschränkung, 



Oj^ = 3Cj, O2 ^ Jig . 



Infolgedessen bekommen wir, wenn wir das allgemeine Verfahren 

 auf die Kurve C anwenden, nur die rationalen Punktpaare 



(m -{- l)a -\- (jn -\- 3 /;')%, 

 wo m und h beliebige ganze Zahlen sind. Die so erhaltenen 

 Punktgruppen können wir auch in folgender Form schreiben: 

 ma -\- (in -f 2 -f- 3k)jc. 



Der Grund dafür, daß diese Formel mit der vorhin er- 

 haltenen Formel (18) nicht übereinstimmt, ist der, daß, worauf 

 wir als speziellen FaU am Ende des ersten Paragraphen des 

 zweiten Kapitels hinwiesen, wenn wir q == 2 benutzen, die bei der 

 zweiten Konstruktion von PoiNCARE angewandte rationale Hilfs- 

 punktgruppe ebenfalls ein rationales Punktpaar ist. 



Wenn wir dieses beachten, so erhalten wir alle aus dem 

 rationalen Punktpaare a konstruierbaren Punktpaare. Wenn wir 

 nämlich durch zwei rationale Punktpaare 



m^a -{- (% + 2 + 'd\)%, m^a + (wi^ + 2 + '^h^x, 



«inen adjungierten Kegelschnitt hindurchführen, sind die Argu- 

 mente des ausgeschnittenen Punktpaares von der Form 



ma -f (m -f ?>'k)K. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVI. 13 



