ADDITIVE DARSTELLUNG EINIGEE ZAHLENTHEOR. FUNKTIONEN. 197 



Dem gegenüber gibt die additive Darstellung die zu be- 

 stimmende Funktion f(n) in der Gestalt einer Summe von ge- 

 wissen Substitutionswerten einer zu f(n) „adjungierten" Funktion 

 eines oder mehrerer Argumente, und dies kann mitunter obne 

 alle Primfaktorenzerlegung gelingen. 



Wir werden die Möglichkeit und die Art der additiven Dar- 

 stellung ohne Primzahlenzerlegung des Argumentes im Falle 

 folgender Funktionen mitteilen: 



cp{n) und ipin): die Anzahl bzw. die Summe derjenigen Zahlen, 

 die nicht größer als n und zu n relativ prim sind; 



8{n) und 27 (w): die Anzahl bzw. die Summe sämtlicher Divi- 

 soren von n-^ 



Q{7i) und (5(w): die Anzahl bzw. die Summe derjenigen Teiler 

 d von n^ die zu dem assoziierten Teiler -,- relativ prim sind. 



Bezeichnen wir den größten gemeinsamen Teiler von h und n 

 mit (k,n) und definieren a^^k), h^(h), c^ili) so, daß: 



a^(^) = 1, wenn (li,n) = \, während a^(k) = 0, wenn 



^7i(J\> ^ ^} wenn (Je, n) = k, während h^(k) = 0, wenn 

 Qu, n)<Ck] Jc^n-^ 



c^(i, Je) = 1, wenn ih = n und (i, ^v) = 1; c^(i, h) = 0, wenn 

 ih 4= ** oder (i, Z;) > 1, 



so können unsere obigen sechs Funktionen in der folgenden 

 Weise dargestellt werden: 



K n 



(P (^«) =2 «» (^) , ^ (^'0 =2 ^ ein (^) , 



k=l k=l 



n n 



S{n)=^^\(k), 2J{n)=^k\(k), (1) 



k=l k=l 



pW =^ ^cÄhf^), <?W = y2^ (^+^)^«(^'^)- 



Unser nächster Zweck ist a^{k), h^(k') und c^(i,k) explizite 

 aus den Zahlenwerten ihrer Argumente und des als Parameter 

 fungierenden n ohne deren Primteilerzerlegungen darzustellen. Zu 

 diesem Zwecke werden wir diese Funktionen mittels der Haupt- 



