ADDITIVE DARSTELLUNG EINIGER ZAHLENTHEOR. FUNKTIONEN. 199 



Ötreichen wir die letzten i Zeilen und die letzten i Spalten, so 

 erhalten wir einen Minor (k -{- n — i)ten Grades, den wir mit jR(') 

 bezeichnen und kurz den iten Hauptminor von R nennen wollen, 

 da in unseren Untersucliungen keine anderen Hauptminoren von JR 

 vorkommen werden. Die beiden Lemmen, die wir benötigen, 

 können wir nun in der folgenden Weise ausdrücken: 



1. Sollen 



a?" — 1 = und ic^" — 1 = 



wenigstens d gemeinsame Wurzeln haben, so ist dazu 

 notwendig und hinreichend, daß ihre SYLVESTERsche 

 Resultante samt dem ersten, zweiten, . . ., (ß — l)ten 

 Hauptminor verschwinde. 



2. Wenn die Gleichungen 



ic" — 1 = und x^ — 1 = 

 genau d gemeinschaftliche Wurzeln haben, dann ist der 

 absolute Wert jedes Hauptminors ihrer SYLVESTERschen 

 Resultante von dem dten Hauptminor an gleich 1. 



Das erste Lemma ist die Spezialisierung für den Fall der 

 binomischen Gleichungen des folgenden allgemeineren Satzes: 



1*. Die notwendige und hinreichende Bedingung 

 dafür, daß die folgenden, keine Nullwurzel besitzenden, 

 sonst aber beliebigen Gleichungen 



f(x) = cIqx'' + aj^x^~^ + • • • + a^, = 



g{x) = hQX''-]-\x''-'^-\ h&„ = ^^ 



wenigstens d gemeinschaftliche Wurzeln besitzen, be- 

 steht in dem Verschwinden der SYLVESTERschen Resul- 

 tante R und ihres ersten, zweiten, . . ., (d — l)ten Haupt- 

 minors. (Die mehrfachen Wurzeln sind hier und im Folgenden 

 mit ihrer Multiplizität zu zählen.) 



Von diesen zwei, unter 1. und 1*. vorgeführten Sätzen, die 

 neue Kriterien der Existenz gemeinschaftlicher Wurzeln geben, 

 werden wir gleich dem allgemeineren Satz 1* beweisen. Da der 

 Satz für d = 1 bekannt ist, so können wir hierzu die Methode 

 der vollständigen Induktion benutzen. 



Nehmen wir also an, daß 1* im Falle d = i richtig ist; wenn 

 wir dann die Richtigkeit für den Fall d = i-\-l beweisen wollen. 



