202 MICHAEL FEKETE. 



also ist das Produkt 



vom Vorzeiclien abgesehen gleich dem Produkte 



gM . . . g{x,_Xx^ . . . :r,_ .y/C^i+i) . . . f{yn){yi+i ■ ■ • yj- 



Diese Gleichung ist in x^, x^, . . ., x^. und in y.^^, ij^, . . ., y^ eine 

 identische Gleichung, welche bei jedem Wertsystem dieser Yari- 

 abeln besteht, vorausgesetzt, daß auch durch die Relationen: 



/■(«/i) = • ■ • = /"(yj = g{x^) = ■■■= g(x,_,^,) = 

 bestehen. Wir dürfen also beide Produkte mit dem Koeffizienten 

 des B^^^ dividieren, woraus folgt, daß: 



■f(yi+i)(yi^2)---f(yn)- (4) 



Im Falle, wo die Gleichung g(y) = nur einfache Wurzeln be- 

 sitzt, sind die Größen 



^{yi, ■■■, y^, ^(yi+i, ■■■, yj, ^(ßv ■■■, y^ Vi+i, ■ •■,y^ 



von verschieden; in diesem Falle können wir also schon aus 

 der oben aufgeschriebenen Form des B^'^ darauf schließen, daß 

 i?W = die notwendige und hinreichende Bedingung der Existenz 

 einer {i + 1) ten Wurzel ist. Um aber auch dann zu dieser Ein- 

 sicht zu gelangen, wenn wir von den Wurzeln der Gleichung 

 g{x) = nur das eine fordern, daß sie von verschieden seien, 

 werden wir die rechte Seite der Gleichung (4) umformen. 

 Wir werden in Betracht ziehen, daß einerseits 



^{yx,---,yi,yi+i,---,y^ = 



n 



= ^ (2/1, ■'■, y^^^Vi+x, ■■■, yn)IIiyj - ?/i) • . . fe - 2/,), 



andererseits j i+i 



fiyi+i) ■ • • fiy,) 



n 



- ^~^n^i - ^1) • • ■ fe - ^,-,)(2/, - ^,_,+i) . . . {y^ - x,) 



k—in n ' 



= ai-^n . n fe - x;) n ^ -y,)... (?/, - ^,). 



