ADDITIVE DARSTELLUNG EINiaER ZAHLENTHEOR. FUNKTIONEN. 203 

 woraus folgt, daß: 



i h — in 



J^W = (- iyal-'f^{:y,^,y,^, . . . yj JJ Hiv^ - ^.)- (5) 



0^ 1 = 1 j = i-tl 



Nach imserer Annalime sind cij, und l)^ von verschieden, also 

 folgt aus Relation (5), daß U^^' = die hinreichende und not- 

 wendige Bedingung zur Existenz einer {i + l)ten gemeinsamen 

 Wurzel ist. 



Bevor wir den Beweis des Lemma II geben, woUen wir be- 

 merken, daß der gemeinschaftliche Teiler der Binomen x^ — 1 

 und a;" — 1 immer die Gestalt 



besitzt, wo d der größte gemeinschaftliche Teiler der Zahlen h 

 und n ist. 



Auf Grund dessen kann das Lemma IL in folgender Weise 

 gefaßt werden: 



Wenn (>?, A') = d, dann ist 



mä) I _ I j>{d + i)\ = . . . = I Bf^^-^)\ = 1. 



Den Beweis dieses Satzes werden wir in zwei Teilen geben: vor- 

 erst werden wir beweisen, daß, wenn (n, Ji) = d, dann ist IjR^'*' 1 = 1; 

 sodann werden wir dieses Ergebnis mit Hilfe der vollständigen 

 Induktion verallgemeinern, indem wir zeigen, daß wenn \Mf^ 1 = 1, 

 dann auch ti?(/ + ^)| gleich 1 ist. Dabei ist natürlich «>d an- 

 genommen. 



Indem wir die Formel (4) im Falle 



f{x) ^x^ — 1, g{x) = x"- — 1 , i = d 

 aufschreiben, bekommen wir: 



■ynY- 



weil die gemeinschaftlichen Wurzeln unserer Gleichungen, y^, 

 2/2, . . . , «/(j d^r Gleichung ic'' — 1 = genügen; also ist. 



