204 MICHAEL FEKETE. 



Nehmen wir jetzt in Betracht, daß: 



n 



= ^{vi, ■•-, yö)^(.yd+x, ■■■•yn) JJ ^y^ -Vx)--- to - ys) 



und daß 



77 (^ — yr) = ^"^ - 1- 



r= 1 



Auf Grund dessen ist: 



'- ^ ' {yi^,-l)...{yi-i) 



Um die Relation lii^^) i = 1 verifizieren zu können, werden wir 

 beweisen, daß die Zahlenfolgen: 



yUvvUv-^yi W 



yUi^yU^'---^yl (^) 



abgesehen von der Reihenfolge ihrer Glieder mit einander iden- 

 tisch sind. 



Es sei n =- n' d, Ix = h'd. Vor allem ist es evident, daß die 

 Glieder der Zahlenfolgen (a) und (/3) n'-ie Einheitswurzeln sind. 



Das allgemeine Glied der Zahlenfolge (a) ist: 



2 7t{cin' -\-r) . . . 2Tt(qn' 4-r) 



COS -^"—^ — - + % sm ^^^— r^— . 



n n 



Das allgemeine Glied der Zahlenfolge (/3) ist: 



^Qg 2^{qk'n+rJc') . ^.^ 2^{<irn' +jJ^ 



n n ' ' 



Die hier in Betracht zu nehmenden Werte von q, bzw. r sind 

 die folgenden: 



g = 0, 1,2, ...,(J-1; r=l,2,...,n'-l. 

 In der Zahlenfolge {a) kommen also sämtliche ;/-te Einheits- 

 wurzeln vor (die Einheit ausgenommen), und zwar wiederholt sich 

 jede ^-mal. Gleiches gilt auch von der Zahlenfolge {ß), denn 

 während r mod. n die sämtlichen Werte des vollständigen Rest- 

 systems durchläuft, nimmt, zufolge (Ä;', n') = l, auch Ic'r die 

 sämtlichen Werte desselben an. Es stehen demnach in unserer 



