ADDITIVE DARSTELLUNG EINIGER ZAHLENTHEOR. FUNKTIONEN. 205 



-obigen Formel für i?j.'*|^ im Zähler und im Nenner dieselben 

 Faktoren, und wir haben in der Tat: 



\m ! = 1. 



Nunmehr gehen wir zu dem Beweise dessen über, daß, wenn 

 (;^, A') = d, dann ist außer dem d-ten auch der (ö -|- l)-te, (d + 2), . . . , 

 {n + Ä- — l)-te Hauptminor des Rj. ,^ dem absoluten Werte nach 

 gleich 1. 



Daß der Ä:-te, (Ä- + l)-te, . . ., (n + Ä' — l)-te Hauptminor diese 

 Eigenschaft besitzt, folgt unmittelbar schon aus der Form der 

 Determinante R.^„: die Richtio-keit der Gleichunff 'jRW i = 1 ist 



y.m o o I Ä-, 7? ! 



also nur im Falle d <Ck und bei denjenigen Werten von i zu 

 beweisen, welche die Bedinguno; 



erfüllen. 



Um bei der vollständigen Induktion aus 



I "-'l " I 



die Gleichung 



\m+^y = 1 



folgern zu können, brauchen wir nur zu zeigen, daß die Deter- 

 minante JRj. ,j, wenn wir zu den einzelnen Zeilen die vorangehenden 

 Zeilen mit passenden ganzen Zahlen multipliziert addieren, in eine 

 solche Determinante i?^,^ übergeht, in welcher links von der 

 Hanptdiagonale lauter Nullelemente stehen. 



Nach der besagten Transformation wird nämlich nicht nur 

 die neue Determinante Rj, ^ gleich Rj. ^ ausfallen , sondern jeder 

 ihrer Hauptminoren R['^ g-leich R[^'> sein. Auch werden die Ele- 



J- k, n ~ k, n 



mente der neuen Determinante ganze Zahlen sein. Wenn also 



ist, dann können in der Hauptdiagonale der Determinante R^^\, die 

 mit R^^ dem Zahlenwerte nach gleich ist, nur solche Elemente 



k,n O 7 



stehen, deren absoluter Wert gleich Eins ist, während links von 

 der Hauptdiagonale alle Elemente verschwinden. Dann ist aber 

 Jii^' + ^) als erster Hauptminor von R^^^^ von derselben Gestalt, 



