ADDITIVE DARSTELLUNG EINIGER ZAHLENTHEOR. FUNKTIONEN. 207 



dargestellt werden, wo q eine positive ganze Zahl ist und r die 

 Bedingung ^ r ^ ^ — 1 erfüllt. 



Wenn r > ist**, überführen wir das System (S) in das 

 folgende: 



^a = ^a (« = 1,2,...,«; 



■^„ + ,i = ^n + i1 ~ (^,1? + -^ii + k + ^ß + Zk + • • • + -^,i + si) (m) 



(p' = l,2,...,r) 



■^n + r + y ^^ -^n+r + y \^r+y ~r ^^_|.y_i_^. + " ' " + -a.r + y + {q-l)k)- 



{Y = l,...,k-r) 



Es ist dies eine Transformation vom Typus (I). Untersuchen 

 wir, wie die so erhaltenen Ä' mit den Unbestimmten ausgedrückt 

 werden können, so erhalten wir 



^«=^«-6« + ^- (« = 1,2,...,»), 



^n + l^ ^^ V^,:? ^n + ß) ~ 



K^p' ^l^ + k) "r y^l^ + k ^ß + 2k) + ' ■ ■ + \^l3 + qk ^[i+qk + knj 



also 



^; + ,j = - e„.^,j + e,+,4 + i_^ (/? = i,2,...,r) 

 und 



/l' = fp — f ^ — 



''-^M + r + y v''r+/ '-'r + y + w/ 



I \^r + }/ ^r + / + äJT" C^r + 7 + A ^r + / + 2 J H T (^^ + y + (^ _ 1 ) i 6^ + y + j J ) ; 



also . , 



^„+, + y = e„ + y~e„+y + , (/ = 1, 2, . . . , i - r) . 



besteht. Wenn wir die Transformation 



A^ = A^ (a = 1, . . . , m) 



^in + ;? ^ ^jn + ;^ + -^(i - 1) n + /:? ~l H ^^2 n + /? + ^« + ,'f "~ ^ß (^^^ ) 



(,:?=1,2,...,«) (i=l,2,...,0 



^(i + l)n + Y = ^{i + l)n + Y (y = 1,2,... ,k-in) 



auf das Formensystem Ä/^{h = l.i2, ... ,n -\- Je) anwenden, so entsteht ein 

 solches System, dessen erste in Glieder dem Gesetze folgen, das in (II) 

 ausgedrückt ist. Die übrigen n -\- k — in Glieder bilden ein solches System, 

 das zu der Resultante i?, angehörig betrachtet werden kann. Aber 



die Zahl k — in befriedigt schon die Bedingung: Je — in^n. 

 * Ist r = 0, so führt die Transformation 

 Ä[^ = ^^^ (a = 1, 2, . . . , n\ 



^; + , = ^„ + ,-(-i, + ^, + , + --- + ^, + (,_i),) (7 = 1,2,...,^-) 

 zum System A'^ = e^ — ^a + ki -^n + v^ ^i welches die Eigenschaft (11) beßitzt. 



