ADDITIVE DÄESTELLUNG EINIGER ZAHLENTHEOE. FUNKTIONEN. 211 



Wir wollen uns hier mit der Entscheidung dieser Frage 

 nicht befassen. 



Zum Schlüsse unserer Auseinandersetzungen wollen wir nur 



eine Anwendung der behandelten Funktionendarstellung geben. 



Es ist folgendes bekannt: damit irgend eine ganze Zahl n 



Primzahl sei, ist erforderlich und genügend, daß eine der Relationen 



cp (n) = n — 1 , 

 , . . n{n — 1) 



^(n) = n -\- 1 

 bestehe- 



Bei der multiplikativen Darstellung — die an die Kenntnis 

 der Primfaktorenzerlegung des n gebunden ist — hatten diese 

 Kriterien keine praktische Bedeutung. Mit der Kenntnis der 

 besprochenen additiven Darstellung sind wir nun fähig, die in 

 den obigen Relationen vorkommenden elementaren zahlentheore- 

 tischen Funktionen ohne die Kenntnis der Primfaktorenzerlegung 

 ihrer Argumente darzustellen, was den oben erwähnten Prim- 

 zahlenkriterien theoretisch-praktische Bedeutung verleiht. 



Auf Grund der unter (1) — (4) aufgeschriebenen Darstellungen 

 des (p{n), ip(n), S(n) und 2J(n) können wir aussprechen, daß: 

 irgend eine ganze Zahl n dann und nur dann eine Prim- 

 zahl ist, wenn eine von den (einander involvierenden) 

 Gleichungen 



n 



y\BW\ = n-l, 



h = X 



.^^ \ k,n\ 2 " 



. k = l 



n 



ym^-m = n-2, 



i = l 



erfüllt ist. 



W 



