170 SOTEKO PBIETO 



Km 

 «n, +2 — Wn<, + 3 >• 



"n - "n + J > 



w. + 2 + V ' 

 Ku 



71 -\- V * 



sumando las desigualdades se obtiene. 



Mn, 



1 \ 



' ' n -\- V J ' 



«o + 2 4- V 



El primer miembro crece con n, pero no indefinidamente; su límite es 

 "D„ — ?í J^ Mn„. En el segundo miembro la constante Km está multiplicada 

 por el factor variable 



1 1 1 1 



w^+^^o+^+l ^o + ''+2' ' n -\- V ^ 



que crece indefinidamente con n. Por consiguiente 

 Km = O, M = O. 



En la serie divergente 

 2 3,4,5 n + 1,72+2, 



T + -2+T + T + + -Í- +^+ 



■el límite del término general no es nulo; por consiguiente, el producto de 

 Duhamel no se conservará mavor que un número positivo tijo. En efecto 



i>.=(» + '>0-'^í^) = (» + ^)(;rW-°' 



cualquiera que sea la constante v. 



II. Si el número fijo K es igual a i, el prodxicto 



n u^ 

 tiene un limite bien determinado, positivo o nulo. 



En efecto ~* 



(n + v)(m„ — M„ + ,) >M„; 



(„ + v_l)M^_(n + v)m„ + i> O, (» + r— l)M„>(n +v)m„ + ,. 



Si el número positivo {71 -{- v — 1 ) w^ decrece, cuando n crece, for- 

 zosamente tiene un límite. Por otra parte, puesto que v es constante, 



n -t- V — 1 

 lím f n + V — 1 ) M„ — - lím n u„ = lím n u.. 



III. 5'i K > 1; lim n Uj^ = O y además la serie es converge?iie. 



En efecto 



{n + v — 1) u^ — {n +^) "„+ i' > (K — 1) M„ ; 

 esta desigualdad sumada con sus análogas 



